以下の６つの計算問題を解きます。 (1) $(1 + \sqrt{5} + \sqrt{6})(1 + \sqrt{5} - \sqrt{6})$ (2) $\frac{1 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$ (3) $(\sqrt{-3} + \sqrt{2})(\sqrt{-18} - \sqrt{12})$ (4) $\frac{3 + \sqrt{-2}}{3 - \sqrt{-2}} + \frac{3 - \sqrt{-2}}{3 + \sqrt{-2}}$ (5) $(1 - i)^3$ (6) $\frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{3} - i} - \frac{\sqrt{3} - i}{\sqrt{3} + i}$

はい、承知いたしました。画像にある６つの問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の６つの計算問題を解きます。

(1) $(1 + \sqrt{5} + \sqrt{6})(1 + \sqrt{5} - \sqrt{6})$

(2) $\frac{1 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$

(3) $(\sqrt{-3} + \sqrt{2})(\sqrt{-18} - \sqrt{12})$

(4) $\frac{3 + \sqrt{-2}}{3 - \sqrt{-2}} + \frac{3 - \sqrt{-2}}{3 + \sqrt{-2}}$

(5) $(1 - i)^3$

(6) $\frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{3} - i} - \frac{\sqrt{3} - i}{\sqrt{3} + i}$

2. 解き方の手順

(1)

$A = 1 + \sqrt{5}$とおくと、与式は$(A + \sqrt{6})(A - \sqrt{6})$となり、これは和と差の積なので、$A^2 - (\sqrt{6})^2 = A^2 - 6$となります。

$A^2 = (1 + \sqrt{5})^2 = 1 + 2\sqrt{5} + 5 = 6 + 2\sqrt{5}$であるから、$A^2 - 6 = 6 + 2\sqrt{5} - 6 = 2\sqrt{5}$となります。

(2)

それぞれの分数を有理化します。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(1 + \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 3}{4 - 3} = 5 + 3\sqrt{3}$

$\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$

よって、$5 + 3\sqrt{3} - (2 - \sqrt{3}) = 5 + 3\sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} = 3 + 4\sqrt{3}$

(3)

$\sqrt{-3} = \sqrt{3}i$、$\sqrt{-18} = \sqrt{18}i = 3\sqrt{2}i$であるから、$(\sqrt{-3} + \sqrt{2})(\sqrt{-18} - \sqrt{12}) = (\sqrt{3}i + \sqrt{2})(3\sqrt{2}i - 2\sqrt{3}) = 3\sqrt{6}i^2 - 6 + 6i - 2\sqrt{6}i = -3\sqrt{6} - 6 + (6 - 2\sqrt{6})i = -(6 + 3\sqrt{6}) + (6 - 2\sqrt{6})i$

(4)

$\sqrt{-2} = \sqrt{2}i$であるから、それぞれの分数を有理化します。

$\frac{3 + \sqrt{-2}}{3 - \sqrt{-2}} = \frac{(3 + \sqrt{2}i)(3 + \sqrt{2}i)}{(3 - \sqrt{2}i)(3 + \sqrt{2}i)} = \frac{9 + 6\sqrt{2}i - 2}{9 + 2} = \frac{7 + 6\sqrt{2}i}{11}$

$\frac{3 - \sqrt{-2}}{3 + \sqrt{-2}} = \frac{(3 - \sqrt{2}i)(3 - \sqrt{2}i)}{(3 + \sqrt{2}i)(3 - \sqrt{2}i)} = \frac{9 - 6\sqrt{2}i - 2}{9 + 2} = \frac{7 - 6\sqrt{2}i}{11}$

よって、$\frac{7 + 6\sqrt{2}i}{11} + \frac{7 - 6\sqrt{2}i}{11} = \frac{14}{11}$

(5)

$(1 - i)^3 = (1 - i)^2(1 - i) = (1 - 2i + i^2)(1 - i) = (1 - 2i - 1)(1 - i) = -2i(1 - i) = -2i + 2i^2 = -2 - 2i$

(6)

それぞれの分数を有理化します。

$\frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{3} - i} = \frac{(\sqrt{3} + i)(\sqrt{3} + i)}{(\sqrt{3} - i)(\sqrt{3} + i)} = \frac{3 + 2\sqrt{3}i - 1}{3 + 1} = \frac{2 + 2\sqrt{3}i}{4} = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2}$

$\frac{\sqrt{3} - i}{\sqrt{3} + i} = \frac{(\sqrt{3} - i)(\sqrt{3} - i)}{(\sqrt{3} + i)(\sqrt{3} - i)} = \frac{3 - 2\sqrt{3}i - 1}{3 + 1} = \frac{2 - 2\sqrt{3}i}{4} = \frac{1 - \sqrt{3}i}{2}$

よって、$\frac{1 + \sqrt{3}i}{2} - \frac{1 - \sqrt{3}i}{2} = \frac{2\sqrt{3}i}{2} = \sqrt{3}i$

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{5}$

(2) $3 + 4\sqrt{3}$

(3) $-(6 + 3\sqrt{6}) + (6 - 2\sqrt{6})i$

(4) $\frac{14}{11}$

(5) $-2 - 2i$

(6) $\sqrt{3}i$