$x = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$、$y = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}$ のとき、以下の式の値を求めます。 (1) $x+y$ (2) $xy$ (3) $x^2+y^2$ (4) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$、$y = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}$ のとき、以下の式の値を求めます。

(1) $x+y$

(2) $xy$

(3) $x^2+y^2$

(4) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{2+2\sqrt{2}+1}{2-1} = 3+2\sqrt{2}$

$y = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{2-2\sqrt{2}+1}{2-1} = 3-2\sqrt{2}$

(1) $x+y = (3+2\sqrt{2}) + (3-2\sqrt{2}) = 6$

(2) $xy = (3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2}) = 9 - (4 \times 2) = 9 - 8 = 1$

(3) $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 6^2 - 2(1) = 36 - 2 = 34$

(4) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{34}{1} = 34$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 6$

(2) $xy = 1$

(3) $x^2+y^2 = 34$

(4) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 34$