複素数平面において、点 $z$ が2点 $0$ と $i$ を結ぶ線分の垂直二等分線上を動くとき、 $w = \frac{2z - 1}{iz + 1}$ を満たす点 $w$ の描く図形を求めよ。

1. 問題の内容

複素数平面において、点 $z$ が2点 $0$ と $i$ を結ぶ線分の垂直二等分線上を動くとき、 $w = \frac{2z - 1}{iz + 1}$ を満たす点 $w$ の描く図形を求めよ。

2. 解き方の手順

点 $z$ が2点 $0$ と $i$ を結ぶ線分の垂直二等分線上にあるということは、$|z-0| = |z-i|$ が成り立つということです。したがって、

$|z| = |z-i|$

$|z|^2 = |z-i|^2$

$z\overline{z} = (z-i)(\overline{z}+i) = z\overline{z} + iz - i\overline{z} + 1$

$iz - i\overline{z} + 1 = 0$

$i(z - \overline{z}) = -1$

$z - \overline{z} = i$

ここで、$w = \frac{2z - 1}{iz + 1}$ より、 $w(iz+1) = 2z - 1$ なので、$izw + w = 2z - 1$ となります。

$z(2-iw) = w+1$

$z = \frac{w+1}{2-iw}$

$\overline{z} = \frac{\overline{w}+1}{2+i\overline{w}}$

$z - \overline{z} = i$ に代入すると、

$\frac{w+1}{2-iw} - \frac{\overline{w}+1}{2+i\overline{w}} = i$

$\frac{(w+1)(2+i\overline{w}) - (\overline{w}+1)(2-iw)}{(2-iw)(2+i\overline{w})} = i$

$\frac{2w + iw\overline{w} + 2 + i\overline{w} - (2\overline{w} - iw\overline{w} + 2 - iw)}{4 + 2i\overline{w} - 2iw + w\overline{w}} = i$

$\frac{2w + iw\overline{w} + 2 + i\overline{w} - 2\overline{w} + iw\overline{w} - 2 + iw}{4 + w\overline{w} + 2i(\overline{w}-w)} = i$

$\frac{2(w-\overline{w}) + 2iw\overline{w} + i(w+\overline{w})}{4 + w\overline{w} + 2i(\overline{w}-w)} = i$

$2(w-\overline{w}) + 2iw\overline{w} + i(w+\overline{w}) = i(4 + w\overline{w} + 2i(\overline{w}-w))$

$2(w-\overline{w}) + 2iw\overline{w} + i(w+\overline{w}) = 4i + iw\overline{w} - 2(\overline{w}-w)$

$4(w-\overline{w}) + iw\overline{w} + i(w+\overline{w}) - 4i = 0$

$4(w-\overline{w}) + i(w\overline{w} + w + \overline{w} - 4) = 0$

$w = x+iy$ とすると、$\overline{w} = x-iy$ であり、

$w-\overline{w} = 2iy$

$w\overline{w} = x^2 + y^2$

$w + \overline{w} = 2x$

$4(2iy) + i(x^2 + y^2 + 2x - 4) = 0$

$8iy + i(x^2 + y^2 + 2x - 4) = 0$

$i(8y + x^2 + y^2 + 2x - 4) = 0$

$x^2 + y^2 + 2x + 8y - 4 = 0$

$(x+1)^2 - 1 + (y+4)^2 - 16 - 4 = 0$

$(x+1)^2 + (y+4)^2 = 21$

3. 最終的な答え

中心が $-1 - 4i$ で、半径が $\sqrt{21}$ の円。