与えられた2つの多項式を因数分解します。問題は次の通りです。 (2) $x^4 + 3x^2 + 4$ (3) $x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$

1. 問題の内容

与えられた2つの多項式を因数分解します。問題は次の通りです。

(2) $x^4 + 3x^2 + 4$

(3) $x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$

2. 解き方の手順

(2) $x^4 + 3x^2 + 4$ の因数分解：

この式は、平方完成を利用して因数分解できます。

$x^4 + 3x^2 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - x^2$

$= (x^2 + 2)^2 - x^2$

これは、$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の形になっているので、

$= (x^2 + 2 + x)(x^2 + 2 - x)$

$= (x^2 + x + 2)(x^2 - x + 2)$

(3) $x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$ の因数分解：

この式は、因数定理を利用して因数分解できます。

まず、与えられた式を $P(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$ とおきます。

$P(2) = 2^4 - 2^3 - 7(2^2) + 2 + 6 = 16 - 8 - 28 + 2 + 6 = -12 \neq 0$

$P(-2) = (-2)^4 - (-2)^3 - 7(-2)^2 + (-2) + 6 = 16 + 8 - 28 - 2 + 6 = 0$

したがって、$x + 2$ は $P(x)$ の因数です。

$P(3) = 3^4 - 3^3 - 7(3^2) + 3 + 6 = 81 - 27 - 63 + 3 + 6 = 0$

したがって、$x - 3$ は $P(x)$ の因数です。

$P(x)$ は $(x+2)(x-3)$ を因数に持つので、$P(x)$ を $(x+2)(x-3) = x^2 - x - 6$ で割ります。

$x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6 = (x^2 - x - 6)(x^2 -1)$

$= (x+2)(x-3)(x+1)(x-1)$

$= (x+2)(x-3)(x-1)(x+1)$

3. 最終的な答え

(2) $(x^2 + x + 2)(x^2 - x + 2)$

(3) $(x+2)(x-3)(x-1)(x+1)$