$11^{11}$ を100で割ったときの余りを求めます。

1. 問題の内容

$11^{11}$ を100で割ったときの余りを求めます。

2. 解き方の手順

二項定理を利用します。

$11^{11} = (10+1)^{11}$ を二項展開すると、

$$(10+1)^{11} = \sum_{k=0}^{11} \binom{11}{k} 10^k 1^{11-k}$$

$$= \binom{11}{0} 10^0 + \binom{11}{1} 10^1 + \binom{11}{2} 10^2 + \binom{11}{3} 10^3 + \cdots + \binom{11}{11} 10^{11}$$

100で割った余りを求めるので、$10^2$以上の項は100で割り切れます。そのため、$10^0$と$10^1$の項だけを考えれば十分です。

$11^{11} \equiv \binom{11}{0} 10^0 + \binom{11}{1} 10^1 \pmod{100}$

$\binom{11}{0} = 1$, $\binom{11}{1} = 11$ なので、

$$11^{11} \equiv 1 \cdot 1 + 11 \cdot 10 \pmod{100}$$

$$11^{11} \equiv 1 + 110 \pmod{100}$$

$$11^{11} \equiv 111 \pmod{100}$$

$$11^{11} \equiv 11 \pmod{100}$$

3. 最終的な答え

11