## 問題の回答

## 問題の回答

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1. 問題の内容

次の3つの式をそれぞれ因数分解します。

(1) $(x+3y-1)(x+3y+3)(x+3y+4)+12$

(2) $24x^2-54y^2+14x+141y-90$

(3) $x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)$

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2. 解き方の手順

**(1) の因数分解**

1. $A = x+3y$ と置換します。すると与式は $(A-1)(A+3)(A+4)+12$ となります。

2. $(A-1)(A+3)(A+4)+12$ を展開し、整理します。

$(A-1)(A+3)(A+4) + 12 = (A^2+2A-3)(A+4) + 12 = A^3+2A^2-3A+4A^2+8A-12+12 = A^3+6A^2+5A = A(A^2+6A+5)$

3. $A^2+6A+5$ を因数分解します。$A^2+6A+5 = (A+1)(A+5)$

4. $A(A+1)(A+5)$ に $A = x+3y$ を代入します。

$(x+3y)(x+3y+1)(x+3y+5)$

**(2) の因数分解**

1. 与式を $x$ について整理します。

$24x^2+14x-54y^2+141y-90$

2. $x$ の二次式として因数分解を試みます。

$24x^2+14x-54y^2+141y-90 = 24x^2+14x - (54y^2-141y+90)$

$54y^2-141y+90 = 3(18y^2-47y+30) = 3(2y-3)(9y-10)$

よって、 $24x^2+14x-3(2y-3)(9y-10)$ となります。

3. たすき掛けを利用して因数分解します。

$24x^2+14x-3(2y-3)(9y-10) = (6x+9y-10)(4x-6y+9)$

**(3) の因数分解**

1. 与式を展開します。

$x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y) = x^3y-x^3z+y^3z-y^3x+z^3x-z^3y$

2. この式は交代式であるため、$(x-y)$, $(y-z)$, $(z-x)$ を因数に持ちます。

3. 式の次数が4次であることから、与式は $-(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$ と因数分解できると予想できます。

4. 実際に展開して確認します。

$-(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z) = -(x-y)(yz-xz-z^2+xz)(x+y+z)$

$= -(x-y)(yz-z^2)(x+y+z)=-(xyx-x^2z+xyz-xz^2+y^2z-yz^2)(x+y+z)$

$= -(xyz + xy^2 + xyz - x^2z-xy-x^2z+x^2z + xyz + xyz - xz^2 -xyz-x^2y-yz^2-y^2z-z^2y)$

$= -(x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)) = x^3y-x^3z+y^3z-y^3x+z^3x-z^3y$.

したがって、

$x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y) = -(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$

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3. 最終的な答え

(1) $(x+3y)(x+3y+1)(x+3y+5)$

(2) $(6x+9y-10)(4x-6y+9)$

(3) $-(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$