$\alpha$ の動径が第2象限にあり、$\sin \alpha = \frac{2}{3}$。$\beta$ の動径が第1象限にあり、$\cos \beta = \frac{3}{5}$。このとき、$\sin (\alpha - \beta)$ と $\cos (\alpha + \beta)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\alpha$ の動径が第2象限にあり、$\sin \alpha = \frac{2}{3}$。$\beta$ の動径が第1象限にあり、$\cos \beta = \frac{3}{5}$。このとき、$\sin (\alpha - \beta)$ と $\cos (\alpha + \beta)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\cos \alpha$ と $\sin \beta$ の値を求める。

$\alpha$ は第2象限にあるので、$\cos \alpha < 0$ である。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

したがって、$\cos \alpha = - \sqrt{\frac{5}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$。

$\beta$ は第1象限にあるので、$\sin \beta > 0$ である。

$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ より、

$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

したがって、$\sin \beta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$。

次に、$\sin (\alpha - \beta)$ と $\cos (\alpha + \beta)$ の値を求める。

$\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} - (-\frac{\sqrt{5}}{3}) \cdot \frac{4}{5} = \frac{6}{15} + \frac{4\sqrt{5}}{15} = \frac{6+4\sqrt{5}}{15}$

$\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = (-\frac{\sqrt{5}}{3}) \cdot \frac{3}{5} - \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{3\sqrt{5}}{15} - \frac{8}{15} = \frac{-3\sqrt{5}-8}{15} = -\frac{8+3\sqrt{5}}{15}$

3. 最終的な答え

$\sin (\alpha - \beta) = \frac{6+4\sqrt{5}}{15}$

$\cos (\alpha + \beta) = -\frac{8+3\sqrt{5}}{15}$