$\alpha$ の動径が第3象限、$\beta$ の動径が第4象限にあり、$\sin \alpha = -\frac{3}{5}$、$\cos \beta = \frac{4}{5}$ のとき、次の値を求めよ。 (1) $\sin (\alpha + \beta)$ (2) $\cos (\alpha - \beta)$

1. 問題の内容

$\alpha$ の動径が第3象限、$\beta$ の動径が第4象限にあり、$\sin \alpha = -\frac{3}{5}$、$\cos \beta = \frac{4}{5}$ のとき、次の値を求めよ。

(1) $\sin (\alpha + \beta)$

(2) $\cos (\alpha - \beta)$

2. 解き方の手順

まず、$\cos \alpha$ と $\sin \beta$ の値を求める。

$\alpha$ は第3象限の角なので $\cos \alpha < 0$。

したがって、

$\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - (-\frac{3}{5})^2} = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$

$\beta$ は第4象限の角なので $\sin \beta < 0$。

したがって、

$\sin \beta = -\sqrt{1 - \cos^2 \beta} = -\sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = -\sqrt{1 - \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$

(1) $\sin (\alpha + \beta)$ は加法定理より

$\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

$\sin (\alpha + \beta) = (-\frac{3}{5}) (\frac{4}{5}) + (-\frac{4}{5}) (-\frac{3}{5}) = -\frac{12}{25} + \frac{12}{25} = 0$

(2) $\cos (\alpha - \beta)$ は加法定理より

$\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

$\cos (\alpha - \beta) = (-\frac{4}{5}) (\frac{4}{5}) + (-\frac{3}{5}) (-\frac{3}{5}) = -\frac{16}{25} + \frac{9}{25} = -\frac{7}{25}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin (\alpha + \beta) = 0$

(2) $\cos (\alpha - \beta) = -\frac{7}{25}$