加法定理を用いて、$tan 105^\circ$ の値を求めます。

## 問題1: tan 105° の値を求める

1. 問題の内容

加法定理を用いて、$tan 105^\circ$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$105^\circ$ を $45^\circ$ と $60^\circ$ の和として表します。

$tan(A+B)$ の加法定理は次のとおりです。

$tan(A+B) = \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B}$

ここで、$A = 45^\circ$、$B = 60^\circ$ とすると、

$tan 45^\circ = 1$

$tan 60^\circ = \sqrt{3}$

したがって、

$tan 105^\circ = tan(45^\circ + 60^\circ) = \frac{tan 45^\circ + tan 60^\circ}{1 - tan 45^\circ tan 60^\circ}$

$= \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

分母を有理化するために、分子と分母に $1 + \sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} = \frac{(1 + \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$tan 105^\circ = -2 - \sqrt{3}$

## 問題2: tan (π/12) の値を求める

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}$ であることを用いて、$tan \frac{\pi}{12}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$tan(A-B)$ の加法定理は次のとおりです。

$tan(A-B) = \frac{tan A - tan B}{1 + tan A tan B}$

ここで、$A = \frac{\pi}{4}$、$B = \frac{\pi}{6}$ とすると、

$tan \frac{\pi}{4} = 1$

$tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

したがって、

$tan \frac{\pi}{12} = tan(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}) = \frac{tan \frac{\pi}{4} - tan \frac{\pi}{6}}{1 + tan \frac{\pi}{4} tan \frac{\pi}{6}}$

$= \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}$

分子と分母に $\sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$

分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{3} - 1$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$tan \frac{\pi}{12} = 2 - \sqrt{3}$