円と直線の交点の座標を求める問題です。2つの小問があります。 (1) 円 $x^2 + y^2 = 25$ と直線 $y = x + 1$ の交点を求めます。 (2) 円 $x^2 + y^2 = 8$ と直線 $x + y = 4$ の交点を求めます。

1. 問題の内容

円と直線の交点の座標を求める問題です。2つの小問があります。

(1) 円 $x^2 + y^2 = 25$ と直線 $y = x + 1$ の交点を求めます。

(2) 円 $x^2 + y^2 = 8$ と直線 $x + y = 4$ の交点を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

ステップ1: 直線の方程式を円の方程式に代入します。$y = x + 1$ を $x^2 + y^2 = 25$ に代入すると、

$x^2 + (x + 1)^2 = 25$

ステップ2: 上の式を展開して整理します。

$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25$

$2x^2 + 2x - 24 = 0$

$x^2 + x - 12 = 0$

ステップ3: 二次方程式を解きます。

$(x + 4)(x - 3) = 0$

$x = -4, 3$

ステップ4: $x$ の値を直線の方程式に代入して $y$ の値を求めます。

$x = -4$ のとき、$y = -4 + 1 = -3$

$x = 3$ のとき、$y = 3 + 1 = 4$

ステップ5: 交点の座標を求めます。

(2)

ステップ1: 直線の方程式から $y$ について解き、$y = 4 - x$ を得ます。

ステップ2: この式を円の方程式 $x^2 + y^2 = 8$ に代入します。

$x^2 + (4 - x)^2 = 8$

ステップ3: 上の式を展開して整理します。

$x^2 + 16 - 8x + x^2 = 8$

$2x^2 - 8x + 8 = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

ステップ4: 二次方程式を解きます。

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$

ステップ5: $x$ の値を直線の方程式に代入して $y$ の値を求めます。

$x = 2$ のとき、$y = 4 - 2 = 2$

ステップ6: 交点の座標を求めます。

3. 最終的な答え

(1) 交点の座標は $(-4, -3)$ と $(3, 4)$ です。

(2) 交点の座標は $(2, 2)$ です。