円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = 2x + m$ について、以下の問いに答える。 (1) 円と直線が共有点を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。 (2) 円と直線が接するとき、定数 $m$ の値と接点の座標を求める。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = 2x + m$ について、以下の問いに答える。

(1) 円と直線が共有点を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

(2) 円と直線が接するとき、定数 $m$ の値と接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = 2x + m$ が共有点を持つ条件を求める。

直線の式を円の式に代入して、$x$ についての2次方程式を得る。

$x^2 + (2x + m)^2 = 5$

$x^2 + 4x^2 + 4mx + m^2 = 5$

$5x^2 + 4mx + m^2 - 5 = 0$

この2次方程式が実数解を持つ条件は、判別式 $D \ge 0$ である。

$D = (4m)^2 - 4(5)(m^2 - 5) = 16m^2 - 20m^2 + 100 = -4m^2 + 100 \ge 0$

$4m^2 \le 100$

$m^2 \le 25$

$-5 \le m \le 5$

(2) 円と直線が接するとき、上記の2次方程式の判別式 $D = 0$ となる。

$-4m^2 + 100 = 0$

$4m^2 = 100$

$m^2 = 25$

$m = \pm 5$

$m = 5$ のとき、2次方程式は $5x^2 + 20x + 20 = 0$ となり、$x^2 + 4x + 4 = 0$ より $(x+2)^2 = 0$ なので $x = -2$。このとき $y = 2(-2) + 5 = 1$。接点は $(-2, 1)$。

$m = -5$ のとき、2次方程式は $5x^2 - 20x + 20 = 0$ となり、$x^2 - 4x + 4 = 0$ より $(x-2)^2 = 0$ なので $x = 2$。このとき $y = 2(2) - 5 = -1$。接点は $(2, -1)$。

3. 最終的な答え

(1) $-5 \le m \le 5$

(2) $m = 5$ のとき、接点の座標は $(-2, 1)$。 $m = -5$ のとき、接点の座標は $(2, -1)$。