問題は2つあります。 1つ目は、関数 $y = 2x + 1$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求め、関数 $f(x)$ と $f^{-1}(x)$ を同じxy平面に描くことです。 2つ目は、与えられた関数に対して合成関数を求めることです。具体的には、以下の4つの場合について $f(g(x))$ を求めます。 (1) $f(x) = 5x, g(x) = 20x$ (2) $f(x) = \frac{1}{5}x, g(x) = 20x$ (3) $f(x) = 20x - 10, g(x) = 20x$ (4) $f(x) = 20x, g(x) = 20x - 10$

1. 問題の内容

問題は2つあります。

1つ目は、関数 $y = 2x + 1$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求め、関数 $f(x)$ と $f^{-1}(x)$ を同じxy平面に描くことです。

2つ目は、与えられた関数に対して合成関数を求めることです。具体的には、以下の4つの場合について $f(g(x))$ を求めます。

(1) $f(x) = 5x, g(x) = 20x$

(2) $f(x) = \frac{1}{5}x, g(x) = 20x$

(3) $f(x) = 20x - 10, g(x) = 20x$

(4) $f(x) = 20x, g(x) = 20x - 10$

2. 解き方の手順

1. $y = 2x + 1$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める。

まず、$y = 2x + 1$ を $x$ について解きます。

$y = 2x + 1$

$y - 1 = 2x$

$x = \frac{y - 1}{2}$

次に、$x$ と $y$ を入れ替えます。

$y = \frac{x - 1}{2}$

したがって、逆関数は

$f^{-1}(x) = \frac{x - 1}{2}$

2. 合成関数を求める。

(1) $f(x) = 5x, g(x) = 20x$ のとき

$f(g(x)) = f(20x) = 5(20x) = 100x$

(2) $f(x) = \frac{1}{5}x, g(x) = 20x$ のとき

$f(g(x)) = f(20x) = \frac{1}{5}(20x) = 4x$

(3) $f(x) = 20x - 10, g(x) = 20x$ のとき

$f(g(x)) = f(20x) = 20(20x) - 10 = 400x - 10$

(4) $f(x) = 20x, g(x) = 20x - 10$ のとき

$f(g(x)) = f(20x - 10) = 20(20x - 10) = 400x - 200$

3. 最終的な答え

1. $f^{-1}(x) = \frac{x - 1}{2}$

グラフについては、 $f(x) = 2x+1$ と $f^{-1}(x) = \frac{x - 1}{2}$ のグラフは直線であり、$y=x$ に関して対称になります。グラフを描く際は、いくつかの点をプロットして直線を描くと良いでしょう。

2. 合成関数

(1) $f(g(x)) = 100x$

(2) $f(g(x)) = 4x$

(3) $f(g(x)) = 400x - 10$

(4) $f(g(x)) = 400x - 200$