三角形ABCにおいて、$\sin A : \sin B : \sin C = 7:5:3$ が与えられています。このとき、角Aの大きさを求め、さらに辺ACを直径とする円の面積が三角形ABCの面積の何倍であるかを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\sin A : \sin B : \sin C = 7:5:3$ が与えられています。このとき、角Aの大きさを求め、さらに辺ACを直径とする円の面積が三角形ABCの面積の何倍であるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、正弦定理より、$\sin A : \sin B : \sin C = a:b:c$ なので、$a:b:c = 7:5:3$ となります。

したがって、$a = 7k$, $b = 5k$, $c = 3k$ （$k > 0$）と表すことができます。

余弦定理より、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{(5k)^2 + (3k)^2 - (7k)^2}{2(5k)(3k)} = \frac{25k^2 + 9k^2 - 49k^2}{30k^2} = \frac{-15k^2}{30k^2} = -\frac{1}{2}$

したがって、$A = 120^\circ$ となります。

次に、三角形ABCの面積をSとすると、

$S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}(5k)(3k)\sin 120^\circ = \frac{15}{2}k^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}k^2$

ACを直径とする円の半径は $\frac{b}{2} = \frac{5k}{2}$ なので、円の面積を$S'$とすると、

$S' = \pi \left(\frac{5k}{2}\right)^2 = \frac{25\pi}{4}k^2$

求める倍数を$n$とすると、

$S' = nS$

$\frac{25\pi}{4}k^2 = n \cdot \frac{15\sqrt{3}}{4}k^2$

$n = \frac{25\pi}{15\sqrt{3}} = \frac{5\pi}{3\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}\pi}{9}$

3. 最終的な答え

A = $120^\circ$

辺ACを直径とする円の面積は△ABCの面積の $\frac{5\sqrt{3}\pi}{9}$ 倍である。