$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ かつ $\sin\theta = \frac{4}{5}$を満たす $\theta$ について、$\sin 2\theta$, $\cos 2\theta$, $\sin\alpha$, $\sin\beta$ の値を計算し、$\alpha = \frac{3}{2}\pi - 2\theta$, $\beta = \theta + \frac{3}{4}\pi$, $\pi$ の大小関係を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ かつ $\sin\theta = \frac{4}{5}$を満たす $\theta$ について、$\sin 2\theta$, $\cos 2\theta$, $\sin\alpha$, $\sin\beta$ の値を計算し、$\alpha = \frac{3}{2}\pi - 2\theta$, $\beta = \theta + \frac{3}{4}\pi$, $\pi$ の大小関係を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sin\theta = \frac{4}{5}$ なので、$\cos\theta$ を計算します。$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より、$\cos\theta > 0$ であるから、

$\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

次に、$\sin 2\theta$ と $\cos 2\theta$ を計算します。

$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$

$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = (\frac{3}{5})^2 - (\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}$

次に、$\sin\alpha$ と $\sin\beta$ を計算します。

$\alpha = \frac{3}{2}\pi - 2\theta$ より、

$\sin\alpha = \sin(\frac{3}{2}\pi - 2\theta) = -\cos(2\theta) = -(-\frac{7}{25}) = \frac{7}{25}$

$\beta = \theta + \frac{3}{4}\pi$ より、

$\sin\beta = \sin(\theta + \frac{3}{4}\pi) = \sin\theta\cos\frac{3}{4}\pi + \cos\theta\sin\frac{3}{4}\pi = \frac{4}{5} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{3}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{4\sqrt{2}}{10} + \frac{3\sqrt{2}}{10} = -\frac{\sqrt{2}}{10}$

$\theta$ について、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ であり、$\sin\theta = \frac{4}{5}$ です。

$2\theta$ は $0 < 2\theta < \pi$ の範囲にあります。$\sin 2\theta = \frac{24}{25}$ であり、$\cos 2\theta = -\frac{7}{25}$ なので、$\frac{\pi}{2} < 2\theta < \pi$ です。

$\alpha = \frac{3}{2}\pi - 2\theta$ なので、$\frac{3}{2}\pi - \pi < \alpha < \frac{3}{2}\pi - \frac{\pi}{2}$ より、$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ です。

$\beta = \theta + \frac{3}{4}\pi$ なので、$\frac{3}{4}\pi < \beta < \frac{5}{4}\pi$ です。

ここで、$\pi < \beta$ となる可能性があるので、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ と $\sin\theta = \frac{4}{5}$ を考慮します。

$\theta \approx 53.13^\circ$ なので、$\beta \approx 53.13^\circ + 135^\circ = 188.13^\circ$ です。

したがって、$\pi < \beta < \frac{5}{4}\pi$ です。

$\alpha = \frac{3}{2}\pi - 2\theta \approx 270^\circ - 2(53.13^\circ) \approx 270^\circ - 106.26^\circ = 163.74^\circ$ なので、$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ です。

$\pi < \beta$ で $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ なので、$\alpha < \beta$ となります。

$\pi < \beta$ です。$\alpha$ と $\pi$ の大小関係は、$\alpha < \pi$ です。

$\beta > \pi > \alpha$ なので、$\alpha < \pi < \beta$ となります。

3. 最終的な答え

$\sin 2\theta = \frac{24}{25}$

$\cos 2\theta = -\frac{7}{25}$

$\sin\alpha = \frac{7}{25}$

$\sin\beta = -\frac{\sqrt{2}}{10}$

大小関係は $\alpha < \pi < \beta$ なので、答えは 1 です。