2桁の正の整数 $X$ について、以下の情報が与えられています。 * $X$ は奇数である。 * $X$ の10の位の数と1の位の数を入れ替えると、$X$ より63小さくなる。 このとき、$X$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2桁の正の整数 $X$ について、以下の情報が与えられています。

* $X$ は奇数である。

* $X$ の10の位の数と1の位の数を入れ替えると、$X$ より63小さくなる。

このとき、$X$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$X$ の10の位の数を $a$ 、1の位の数を $b$ とすると、$X$ は $10a + b$ と表すことができます。

$X$ は奇数なので、$b$ は奇数です。つまり、$b \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$ です。

$X$ の10の位の数と1の位の数を入れ替えた数は $10b + a$ となります。

問題文より、$10a + b - (10b + a) = 63$ が成り立ちます。

この式を整理すると、

$9a - 9b = 63$

$a - b = 7$

$a$ と $b$ は1桁の整数であり、$a$ は正の整数なので、$a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、$b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ です。

また、$a - b = 7$ という条件と、$b$ が奇数という条件から、$b$ が取りうる値を絞り込みます。

$b = 1$ のとき、$a = 1 + 7 = 8$。このとき、$X = 10a + b = 81$。

$b = 3$ のとき、$a = 3 + 7 = 10$。これは $a$ が1桁の整数という条件に反するので不適。

$b = 5$ のとき、$a = 5 + 7 = 12$。これも $a$ が1桁の整数という条件に反するので不適。

$b = 7$ のとき、$a = 7 + 7 = 14$。これも $a$ が1桁の整数という条件に反するので不適。

$b = 9$ のとき、$a = 9 + 7 = 16$。これも $a$ が1桁の整数という条件に反するので不適。

したがって、$a = 8$ かつ $b = 1$ となり、$X = 81$ となります。

3. 最終的な答え

81