問題は以下の通りです。 $2x + y = 2$, $x \ge 0$, $y \ge 0$ を満たす $x, y$ について、 (1) $xy$ の最大値と最小値を求めよ。 (2) $x^2y^2 + 4x^2 + y^2 + 2xy$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

$2x + y = 2$, $x \ge 0$, $y \ge 0$ を満たす $x, y$ について、

(1) $xy$ の最大値と最小値を求めよ。

(2) $x^2y^2 + 4x^2 + y^2 + 2xy$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$2x + y = 2$ より $y = 2 - 2x$。

$x \ge 0, y \ge 0$ より、$x \ge 0$ かつ $2 - 2x \ge 0$ なので $0 \le x \le 1$。

$xy = x(2-2x) = -2x^2 + 2x = -2(x^2 - x) = -2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}$。

$0 \le x \le 1$ において、$x = \frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{1}{2}$ をとる。

また、$x = 0$ または $x = 1$ のとき最小値 $0$ をとる。

(2)

$x^2y^2 + 4x^2 + y^2 + 2xy = (xy)^2 + 4x^2 + y^2 + 2xy$。

$xy = x(2-2x) = 2x - 2x^2$ であるから、

$x^2y^2 + 4x^2 + y^2 + 2xy = (2x - 2x^2)^2 + 4x^2 + (2-2x)^2 + 2(2x - 2x^2) = 4x^2 - 8x^3 + 4x^4 + 4x^2 + 4 - 8x + 4x^2 + 4x - 4x^2 = 4x^4 - 8x^3 + 8x^2 - 4x + 4$.

ここで、$f(x) = 4x^4 - 8x^3 + 8x^2 - 4x + 4$ とおく。

$f'(x) = 16x^3 - 24x^2 + 16x - 4 = 4(4x^3 - 6x^2 + 4x - 1)$。

$f(0) = 4$。

$f(1) = 4 - 8 + 8 - 4 + 4 = 4$。

$x = \frac{1}{2}$ のとき、$y = 2 - 2(\frac{1}{2}) = 1$。

$f(\frac{1}{2}) = 4(\frac{1}{16}) - 8(\frac{1}{8}) + 8(\frac{1}{4}) - 4(\frac{1}{2}) + 4 = \frac{1}{4} - 1 + 2 - 2 + 4 = \frac{9}{4} = 2.25$。

最小値は$\frac{9}{4}$, 最大値は4である。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $\frac{1}{2}$, 最小値: $0$

(2) 最大値: $4$, 最小値: $\frac{9}{4}$