(1) 複素数平面上で、等式 $|3z - 4i| = 2|z - 3i|$ を満たす点 $z$ の全体がどのような図形を表すか答えよ。 (2) 複素数 $z$ が(1)の等式を満たすとき、$|z + \frac{1}{z} + 2i|$ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $z$ の値をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

(1) 複素数平面上で、等式 $|3z - 4i| = 2|z - 3i|$ を満たす点 $z$ の全体がどのような図形を表すか答えよ。

(2) 複素数 $z$ が(1)の等式を満たすとき、$|z + \frac{1}{z} + 2i|$ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $z$ の値をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$z = x + yi$ (x, yは実数)とおく。

$|3(x+yi) - 4i| = 2|x+yi - 3i|$

$|3x + (3y-4)i| = 2|x + (y-3)i|$

$\sqrt{(3x)^2 + (3y-4)^2} = 2\sqrt{x^2 + (y-3)^2}$

両辺を2乗して、

$9x^2 + (3y-4)^2 = 4(x^2 + (y-3)^2)$

$9x^2 + 9y^2 - 24y + 16 = 4x^2 + 4y^2 - 24y + 36$

$5x^2 + 5y^2 = 20$

$x^2 + y^2 = 4$

これは、原点を中心とする半径2の円を表す。

(2)

$z = x+yi$ とすると、$|z| = 2$ であるから、$z = 2(\cos\theta + i\sin\theta)$ と表せる。

$|z + \frac{1}{z} + 2i| = |2(\cos\theta + i\sin\theta) + \frac{1}{2(\cos\theta + i\sin\theta)} + 2i|$

$= |2(\cos\theta + i\sin\theta) + \frac{1}{2}(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta)) + 2i|$

$= |2\cos\theta + 2i\sin\theta + \frac{1}{2}\cos\theta - \frac{1}{2}i\sin\theta + 2i|$

$= |\frac{5}{2}\cos\theta + i(\frac{3}{2}\sin\theta + 2)|$

$= \sqrt{(\frac{5}{2}\cos\theta)^2 + (\frac{3}{2}\sin\theta + 2)^2}$

$= \sqrt{\frac{25}{4}\cos^2\theta + \frac{9}{4}\sin^2\theta + 6\sin\theta + 4}$

$= \sqrt{\frac{16}{4}\cos^2\theta + \frac{9}{4}(\cos^2\theta + \sin^2\theta) + 6\sin\theta + 4}$

$= \sqrt{4\cos^2\theta + \frac{9}{4} + 6\sin\theta + 4}$

$= \sqrt{4(1-\sin^2\theta) + \frac{25}{4} + 6\sin\theta}$

$= \sqrt{-4\sin^2\theta + 6\sin\theta + 4 + \frac{25}{4}}$

$= \sqrt{-4\sin^2\theta + 6\sin\theta + \frac{41}{4}}$

$= \sqrt{-4(\sin^2\theta - \frac{3}{2}\sin\theta) + \frac{41}{4}}$

$= \sqrt{-4(\sin\theta - \frac{3}{4})^2 + 4(\frac{9}{16}) + \frac{41}{4}}$

$= \sqrt{-4(\sin\theta - \frac{3}{4})^2 + \frac{9}{4} + \frac{41}{4}}$

$= \sqrt{-4(\sin\theta - \frac{3}{4})^2 + \frac{50}{4}}$

$= \sqrt{-4(\sin\theta - \frac{3}{4})^2 + \frac{25}{2}}$

$-1 \le \sin\theta \le 1$

$\sin\theta = \frac{3}{4}$ のとき最大値 $\sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

このとき、 $z = 2(\cos\theta + i\sin\theta) = 2(\pm\frac{\sqrt{7}}{4} + i\frac{3}{4}) = \pm\frac{\sqrt{7}}{2} + i\frac{3}{2}$

$\sin\theta = -1$ のとき最小値 $\sqrt{-4(-1 - \frac{3}{4})^2 + \frac{25}{2}} = \sqrt{-4(-\frac{7}{4})^2 + \frac{25}{2}} = \sqrt{-4\cdot\frac{49}{16} + \frac{50}{2}} = \sqrt{-\frac{49}{4} + \frac{100}{4}} = \sqrt{\frac{51}{4}} = \frac{\sqrt{51}}{2}$

このとき、 $z = 2(\cos\theta + i\sin\theta) = 2(0 - i) = -2i$

3. 最終的な答え

(1) 原点を中心とする半径2の円

(2) 最大値: $\frac{5\sqrt{2}}{2}$、そのときの $z$: $\pm\frac{\sqrt{7}}{2} + i\frac{3}{2}$

最小値: $\frac{\sqrt{51}}{2}$、そのときの $z$: $-2i$