$a = \sqrt{5} + \sqrt{3}$、 $b = \sqrt{5} - \sqrt{3}$ のとき、$a^2 + b^2$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$a = \sqrt{5} + \sqrt{3}$、 $b = \sqrt{5} - \sqrt{3}$ のとき、$a^2 + b^2$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$a^2$ と $b^2$ をそれぞれ計算します。

$a^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$

$b^2 = (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15}$

次に、$a^2 + b^2$ を計算します。

$a^2 + b^2 = (8 + 2\sqrt{15}) + (8 - 2\sqrt{15}) = 8 + 8 + 2\sqrt{15} - 2\sqrt{15} = 16$

3. 最終的な答え

16