一辺の長さが6の正四面体ABCDにおいて、辺ABの中点をEとし、辺ADを1:2に分ける点をFとするとき、三角形CEFの面積を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが6の正四面体ABCDにおいて、辺ABの中点をEとし、辺ADを1:2に分ける点をFとするとき、三角形CEFの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABC$と$\triangle ACD$は一辺の長さが6の正三角形なので、その面積はそれぞれ$\frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = 9\sqrt{3}$である。

$AE = EB = 3$であり、$AF = \frac{1}{3}AD = \frac{1}{3} \times 6 = 2$である。

次に、$\triangle ACE$の面積を求める。$\triangle ACE = \frac{1}{2} AC \times AE \times \sin{60^{\circ}} = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$。

$\triangle ACF$の面積を求める。$\triangle ACF = \frac{1}{2} AC \times AF \times \sin{60^{\circ}} = \frac{1}{2} \times 6 \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$。

次に、$\triangle AEF$の面積を求める。$\triangle AEF = \frac{1}{2} AE \times AF \times \sin{60^{\circ}} = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$。

最後に、$\triangle CEF$の面積を求める。$\triangle CEF = \triangle ABC + \triangle ACD - \triangle ACE - \triangle ACF - \triangle BCE - \triangle CDF + \triangle AEF$.

この中で、$\triangle BCE = \frac{1}{2} \triangle ABC = \frac{1}{2} \times 9 \sqrt{3} = \frac{9 \sqrt{3}}{2}$.

$\triangle CDF = \frac{2}{3} \triangle ACD = \frac{2}{3} \times 9 \sqrt{3} = 6 \sqrt{3}$.

しかし、この解き方は複雑になるので、別の方法を考える。

$\vec{CA} = \vec{a}, \vec{CB} = \vec{b}, \vec{CD} = \vec{c}$とすると、$\vec{CE} = \vec{CA} + \vec{AE} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{AB} = \vec{a} + \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b}) = \frac{3}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$.

$\vec{CF} = \vec{CA} + \vec{AF} = \vec{a} + \frac{1}{3}\vec{AD} = \vec{a} + \frac{1}{3}(\vec{c} - \vec{a}) = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{c}$.

$\vec{EF} = \vec{CF} - \vec{CE} = (\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{c}) - (\frac{3}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}) = -\frac{5}{6}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$.

$\triangle CEF = \frac{1}{2} |\vec{CE} \times \vec{CF}| = \frac{1}{2} |(\frac{3}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}) \times (\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{c})| = \frac{1}{2} |\frac{1}{2}\vec{a} \times \vec{c} + \frac{1}{6}\vec{b} \times \vec{c} - \frac{1}{3} \vec{b} \times \vec{a} | = \frac{1}{2} |\frac{1}{2}\vec{a} \times \vec{c} - \frac{1}{6}\vec{c} \times \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{a} \times \vec{b} | = \frac{1}{2} |\frac{1}{2}\vec{a} \times \vec{c} - \frac{1}{6}\vec{c} \times \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{a} \times \vec{b} | = |\frac{1}{4}\vec{a} \times \vec{c} - \frac{1}{12}\vec{c} \times \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{a} \times \vec{b}|$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} |\vec{CA} \times \vec{CB}| = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = 9\sqrt{3}$より $|\vec{a} \times \vec{b}| = 18\sqrt{3}$

$\triangle ACD = \frac{1}{2} |\vec{CA} \times \vec{CD}| = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{c}| = 9\sqrt{3}$より $|\vec{a} \times \vec{c}| = 18\sqrt{3}$

$\triangle BCD = \frac{1}{2} |\vec{CB} \times \vec{CD}| = \frac{1}{2} |\vec{b} \times \vec{c}| = 9\sqrt{3}$より $|\vec{b} \times \vec{c}| = 18\sqrt{3}$

$\triangle CEF = \frac{1}{2} |\frac{3}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}||\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{c}| sin(60) = \frac{1}{2} (9) \sqrt{3} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{9\sqrt{3}}{2}$