一辺の長さが6の正四面体ABCDにおいて、辺ABの中点をEとし、辺ADを1:2に分ける点をFとする。このとき、三角形CEFの面積を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが6の正四面体ABCDにおいて、辺ABの中点をEとし、辺ADを1:2に分ける点をFとする。このとき、三角形CEFの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABC$、$\triangle ACD$、$\triangle ABD$、$\triangle BCD$ はすべて一辺の長さが6の正三角形であることに注意する。

したがって、これらの三角形の面積は $\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = 9\sqrt{3}$ である。

$AE = EB = \frac{6}{2} = 3$

$AF = \frac{1}{3}AD = \frac{6}{3} = 2$

$FD = \frac{2}{3}AD = \frac{2 \cdot 6}{3} = 4$

次に、それぞれの三角形の面積を計算する。

$\triangle AEF = \frac{1}{2} AE \cdot AF \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$\triangle EBC = \frac{1}{2} EB \cdot BC \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$

$\triangle CDF = \frac{1}{2} CD \cdot DF \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$

$\triangle CEF = \triangle ABC - \triangle AEF - \triangle EBC = 9\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{9\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

ただし、$\triangle CEF$は正三角形ではないので、$\triangle ACD - \triangle AEF - \triangle CDF$ を計算する必要がある。

$\triangle CEF = \triangle ACD - \triangle AEF - \triangle CDF = 9\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{2} - 6\sqrt{3} = 3\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$\triangle CEF = \triangle ABD - \triangle AEF - \triangle BCD$ を計算することもできる。

面積を求める方法としては、ヘロンの公式を用いてCE, EF, FCの長さを求めてから面積を求めることも考えられる。

$CE = \sqrt{AC^2 + AE^2 - 2 AC \cdot AE \cos 60^\circ} = \sqrt{6^2 + 3^2 - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{36 + 9 - 18} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

$CF = \sqrt{AC^2 + AF^2 - 2 AC \cdot AF \cos 60^\circ} = \sqrt{6^2 + 2^2 - 2 \cdot 6 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{36 + 4 - 12} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

$EF = \sqrt{AE^2 + AF^2 - 2 AE \cdot AF \cos 60^\circ} = \sqrt{3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{9 + 4 - 6} = \sqrt{7}$

ヘロンの公式を用いると、

$s = \frac{CE+CF+EF}{2} = \frac{3\sqrt{3} + 2\sqrt{7} + \sqrt{7}}{2} = \frac{3\sqrt{3} + 3\sqrt{7}}{2}$

$S = \sqrt{s(s-CE)(s-CF)(s-EF)}$ となるが、計算が複雑になる。

$\vec{CE} = \vec{AE} - \vec{AC}$

$\vec{CF} = \vec{AF} - \vec{AC}$

$\vec{AE} = \frac{1}{2} \vec{AB}$

$\vec{AF} = \frac{1}{3} \vec{AD}$

$S = \frac{1}{2} | \vec{CE} \times \vec{CF} | = \frac{1}{2} | (\frac{1}{2}\vec{AB} - \vec{AC}) \times (\frac{1}{3}\vec{AD} - \vec{AC})| = \frac{1}{2} | \frac{1}{6} \vec{AB} \times \vec{AD} - \frac{1}{2} \vec{AB} \times \vec{AC} - \frac{1}{3} \vec{AC} \times \vec{AD}|$

$| \vec{AB} \times \vec{AD}| = 6 \cdot 6 \sin 60^\circ = 36 \frac{\sqrt{3}}{2} = 18 \sqrt{3}$

$| \vec{AB} \times \vec{AC}| = 6 \cdot 6 \sin 60^\circ = 36 \frac{\sqrt{3}}{2} = 18 \sqrt{3}$

$| \vec{AC} \times \vec{AD}| = 6 \cdot 6 \sin 60^\circ = 36 \frac{\sqrt{3}}{2} = 18 \sqrt{3}$

$S = \frac{1}{2}| \frac{1}{6} \cdot 18 \sqrt{3} - \frac{1}{2} \cdot 18 \sqrt{3} - \frac{1}{3} \cdot 18 \sqrt{3} | = \frac{1}{2} | 3\sqrt{3} - 9\sqrt{3} - 6\sqrt{3} | = \frac{1}{2} |-12\sqrt{3}| = 6\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$3\sqrt{3}$

$\triangle CEF = 3\sqrt{3}$

面積は$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$