全体集合を $U = \{x | 1 \le x \le 10, x は整数 \}$ とし、$U$ の部分集合を $A = \{1, 2, 3, 5, 7 \}$、$B = \{2, 3, 8, 10 \}$ とする。 次の集合を求める。 (1) $\overline{A}$ (Aの補集合) (2) $\overline{B}$ (Bの補集合) (3) $A \cap B$ (AとBの共通部分) (4) $A \cup B$ (AとBの和集合) (5) $\overline{A} \cap B$ (Aの補集合とBの共通部分) (6) $\overline{A \cup B}$ (AとBの和集合の補集合) (7) $A \cap \overline{B}$ (AとBの補集合の共通部分) (8) $\overline{A \cap B}$ (AとBの共通部分の補集合)

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

**問題1**

1. 問題の内容

全体集合を $U = \{x | 1 \le x \le 10, x は整数 \}$ とし、$U$ の部分集合を $A = \{1, 2, 3, 5, 7 \}$、$B = \{2, 3, 8, 10 \}$ とする。

次の集合を求める。

(1) $\overline{A}$ (Aの補集合)

(2) $\overline{B}$ (Bの補集合)

(3) $A \cap B$ (AとBの共通部分)

(4) $A \cup B$ (AとBの和集合)

(5) $\overline{A} \cap B$ (Aの補集合とBの共通部分)

(6) $\overline{A \cup B}$ (AとBの和集合の補集合)

(7) $A \cap \overline{B}$ (AとBの補集合の共通部分)

(8) $\overline{A \cap B}$ (AとBの共通部分の補集合)

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A}$ は、全体集合 $U$ から $A$ の要素を取り除いた集合である。

(2) $\overline{B}$ は、全体集合 $U$ から $B$ の要素を取り除いた集合である。

(3) $A \cap B$ は、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合である。

(4) $A \cup B$ は、$A$ または $B$ (または両方)に含まれる要素の集合である。

(5) $\overline{A} \cap B$ は、$A$ に含まれず、$B$ に含まれる要素の集合である。

(6) $\overline{A \cup B}$ は、$A$ にも $B$ にも含まれない要素の集合である。

(7) $A \cap \overline{B}$ は、$A$ に含まれ、$B$ に含まれない要素の集合である。

(8) $\overline{A \cap B}$ は、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素以外の要素の集合である。

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{4, 6, 8, 9, 10 \}$

(2) $\overline{B} = \{1, 4, 5, 6, 7, 9 \}$

(3) $A \cap B = \{2, 3 \}$

(4) $A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 8, 10 \}$

(5) $\overline{A} \cap B = \{8, 10 \}$

(6) $\overline{A \cup B} = \{4, 6, 9 \}$

(7) $A \cap \overline{B} = \{1, 5, 7 \}$

(8) $\overline{A \cap B} = \{1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \}$

**問題2**

1. 問題の内容

全体集合を $U = \{x | 1 \le x \le 10, x は整数 \}$ とし、$U$ の部分集合を $A = \{1, 2, 3, 4, 8 \}$、$B = \{3, 4, 5, 6 \}$、$C = \{2, 3, 6, 7 \}$ とする。

次の集合を求める。

(1) $A \cap B \cap C$

2. 解き方の手順

$A \cap B \cap C$ は、$A$、$B$、$C$ 全てに含まれる要素の集合である。

まず $A \cap B$ を求め、その結果と $C$ の共通部分を求める。

$A \cap B = \{3, 4 \}$

$(A \cap B) \cap C = \{3, 4 \} \cap \{2, 3, 6, 7 \} = \{3\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B \cap C = \{3\}$

**問題3**

1. 問題の内容

1から100までの整数のうち、次の条件を満たす数は何個あるか。

(1) 2で割り切れる数

(2) 9で割り切れる数

(3) 2と9の両方で割り切れる数

(4) 2と9の少なくとも一方で割り切れる数

2. 解き方の手順

(1) 100 ÷ 2 = 50

(2) 100 ÷ 9 = 11.11... (小数点以下切り捨て) → 11

(3) 2と9の最小公倍数は18。100 ÷ 18 = 5.55... (小数点以下切り捨て) → 5

(4) 2で割り切れる数 + 9で割り切れる数 - 2と9の両方で割り切れる数 = 50 + 11 - 5

3. 最終的な答え

(1) 50個

(2) 11個

(3) 5個

(4) 56個