全体集合$U$とその部分集合$A$, $B$について、以下の情報が与えられています。 * $n(U) = 40$ * $n(A) = 18$ * $n(B) = 25$ * $n(A \cap B) = 6$ これらの情報を使って、以下の値を求めます。 (1) $n(\overline{B})$ (2) $n(\overline{A \cup B})$ (3) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

1. 問題の内容

全体集合$U$とその部分集合$A$, $B$について、以下の情報が与えられています。

* $n(U) = 40$

* $n(A) = 18$

* $n(B) = 25$

* $n(A \cap B) = 6$

これらの情報を使って、以下の値を求めます。

(1) $n(\overline{B})$

(2) $n(\overline{A \cup B})$

(3) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

2. 解き方の手順

(1) $n(\overline{B})$について

補集合の定義より、$n(\overline{B}) = n(U) - n(B)$です。

与えられた値を代入すると、

$n(\overline{B}) = 40 - 25 = 15$

(2) $n(\overline{A \cup B})$について

まず、$n(A \cup B)$を求めます。

和集合の要素の個数に関する公式より、$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$です。

与えられた値を代入すると、

$n(A \cup B) = 18 + 25 - 6 = 37$

次に、補集合の定義より、$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$です。

したがって、$n(\overline{A \cup B}) = 40 - 37 = 3$

(3) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$について

ド・モルガンの法則より、$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$が成り立ちます。

したがって、$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B})$です。

(2)で$n(\overline{A \cup B}) = 3$と求めたので、$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 3$です。

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{B}) = 15$

(2) $n(\overline{A \cup B}) = 3$

(3) $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 3$