$a \geq 0$ とする。2次関数 $y = x^2 - 2ax + a^2 + a + 1$ ($0 \leq x \leq 1$) について、最大値 $M$ と最小値 $m$ を $a$ を用いて表す。

1. 問題の内容

$a \geq 0$ とする。2次関数 $y = x^2 - 2ax + a^2 + a + 1$ ($0 \leq x \leq 1$) について、最大値 $M$ と最小値 $m$ を $a$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) 最大値 $M$ を求める。

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - 2ax + a^2 + a + 1 = (x-a)^2 + a + 1$

この2次関数の軸は $x = a$ である。定義域は $0 \leq x \leq 1$ である。$a \geq 0$ であることに注意して、軸の位置で場合分けを行う。

i) $0 \leq a \leq 1/2$ のとき

定義域の左端 ($x=0$) で最大値を取る。

$M = 0^2 - 2a(0) + a^2 + a + 1 = a^2 + a + 1$

ii) $1/2 < a \leq 1$ のとき

定義域の右端 ($x=1$) で最大値を取る。

$M = 1^2 - 2a(1) + a^2 + a + 1 = a^2 - a + 2$

iii) $a > 1$ のとき

定義域の左端 ($x=0$) で最大値を取る。

$M = 0^2 - 2a(0) + a^2 + a + 1 = a^2 + a + 1$

(2) 最小値 $m$ を求める。

$y = (x-a)^2 + a + 1$ であり、軸は $x = a$ である。

i) $0 \leq a \leq 1$ のとき

軸 $x = a$ が定義域 $0 \leq x \leq 1$ に含まれるので、$x=a$ で最小値を取る。

$m = (a-a)^2 + a + 1 = a + 1$

ii) $a > 1$ のとき

定義域の右端 ($x=1$) で最小値を取る。

$m = 1^2 - 2a(1) + a^2 + a + 1 = a^2 - a + 2$

3. 最終的な答え

(1) 最大値 $M$

$0 \leq a \leq \frac{1}{2}$ のとき、 $M = a^2 + a + 1$

$\frac{1}{2} < a \leq 1$ のとき、$M = a^2 - a + 2$

$a > 1$ のとき、$M = a^2 + a + 1$

(2) 最小値 $m$

$0 \leq a \leq 1$ のとき、$m = a + 1$

$a > 1$ のとき、$m = a^2 - a + 2$