$a \geq 0$ とする。2次関数 $y = x^2 - 2ax + a^2 + a + 1$ ($0 \leq x \leq 1$) について、最大値 $M$ と最小値 $m$ を $a$ を用いて表す。

1. 問題の内容

$a \geq 0$ とする。2次関数 $y = x^2 - 2ax + a^2 + a + 1$ ($0 \leq x \leq 1$) について、最大値 $M$ と最小値 $m$ を $a$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - 2ax + a^2 + a + 1 = (x - a)^2 + a + 1$

この関数の軸は $x = a$ である。定義域は $0 \leq x \leq 1$ である。

(1) 最大値 $M$ について

軸 $x=a$ の位置によって場合分けを行う。

(i) $0 \leq a \leq 1/2$ のとき

定義域の端点 $x = 0$ で最大となる。

$M = (0 - a)^2 + a + 1 = a^2 + a + 1$

(ii) $1/2 < a \leq 1$ のとき

定義域の端点 $x = 1$ で最大となる。

$M = (1 - a)^2 + a + 1 = a^2 - a + 2$

(iii) $a > 1$ のとき

定義域の端点 $x = 0$ で最大となる。

$M = (0 - a)^2 + a + 1 = a^2 + a + 1$

(2) 最小値 $m$ について

軸 $x=a$ の位置によって場合分けを行う。

(i) $a < 0$ のとき

定義域の端点 $x = 0$ で最小となる。

$m = (0 - a)^2 + a + 1 = a^2 + a + 1$

ただし、$a\geq0$なので、これは考える必要がない。

(ii) $0 \leq a \leq 1$ のとき

軸 $x = a$ が定義域内にあるので、頂点で最小となる。

$m = a + 1$

(iii) $a > 1$ のとき

定義域の端点 $x = 1$ で最小となる。

$m = (1 - a)^2 + a + 1 = a^2 - a + 2$

以上の議論をまとめる。

(1) 最大値 $M$ について

$0 \leq a \leq 1$ のとき

$M = \begin{cases} a^2 + a + 1 & (0 \leq a \leq 1/2) \\ a^2 - a + 2 & (1/2 < a \leq 1) \end{cases}$

$a > 1$ のとき

$M = a^2 + a + 1$

まとめると

$M = \begin{cases} a^2 + a + 1 & (0 \leq a \leq 1/2) \\ a^2 - a + 2 & (1/2 < a \leq 1) \\ a^2 + a + 1 & (a > 1) \end{cases}$

(2) 最小値 $m$ について

$0 \leq a \leq 1$ のとき、$m = a + 1$

$a > 1$ のとき、$m = a^2 - a + 2$

まとめると

$m = \begin{cases} a + 1 & (0 \leq a \leq 1) \\ a^2 - a + 2 & (a > 1) \end{cases}$

3. 最終的な答え

(1) 最大値 $M$:

$M = \begin{cases} a^2 + a + 1 & (0 \leq a \leq \frac{1}{2}) \\ a^2 - a + 2 & (\frac{1}{2} < a \leq 1) \\ a^2 + a + 1 & (a > 1) \end{cases}$

(2) 最小値 $m$:

$m = \begin{cases} a + 1 & (0 \leq a \leq 1) \\ a^2 - a + 2 & (a > 1) \end{cases}$