$x$ についての連立不等式 $ \begin{cases} x > 3a+1 \\ 2x-1 > 6(x-2) \end{cases} $ について、次の条件を満たす $a$ の値の範囲を求めます。 (1) この連立不等式の解が存在しない。 (2) この連立不等式の解に2が入る。 (3) この連立不等式の解に入る整数が3つだけとなる。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

$x$ についての連立不等式

$$

\begin{cases}

x > 3a+1 \\

2x-1 > 6(x-2)

\end{cases}

$$

について、次の条件を満たす $a$ の値の範囲を求めます。

(1) この連立不等式の解が存在しない。

(2) この連立不等式の解に2が入る。

(3) この連立不等式の解に入る整数が3つだけとなる。

2. 解き方の手順

まず、連立不等式の2つ目の不等式を解きます。

$2x - 1 > 6(x - 2)$

$2x - 1 > 6x - 12$

$-4x > -11$

$x < \frac{11}{4}$

したがって、連立不等式は

$$

\begin{cases}

x > 3a+1 \\

x < \frac{11}{4}

\end{cases}

$$

となります。

(1) 解が存在しない条件

解が存在しないためには、$3a+1 \geq \frac{11}{4}$ となる必要があります。

$3a+1 \geq \frac{11}{4}$

$3a \geq \frac{11}{4} - 1$

$3a \geq \frac{7}{4}$

$a \geq \frac{7}{12}$

(2) 解に2が入る条件

解に2が入るためには、$3a+1 < 2 < \frac{11}{4}$ を満たす必要があります。$\frac{11}{4} = 2.75$なので、$2 < \frac{11}{4}$は常に満たされています。

$3a + 1 < 2$

$3a < 1$

$a < \frac{1}{3}$

(3) 解に入る整数が3つだけとなる条件

$x$の範囲は $3a+1 < x < \frac{11}{4}$です。$\frac{11}{4} = 2.75$なので、解に入る整数は 0, 1, 2 のいずれかになります。3つの整数が入るためには、0, 1, 2が入る必要があります。

つまり、$3a+1 < 0$ かつ $3a+1 > -1$でなくてはなりません。

$3a + 1 > -1$

$3a > -2$

$a > -\frac{2}{3}$

$3a + 1 < 0$

$3a < -1$

$a < -\frac{1}{3}$

したがって、$-\frac{2}{3} < a < -\frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $a \geq \frac{7}{12}$

(2) $a < \frac{1}{3}$

(3) $-\frac{2}{3} < a < -\frac{1}{3}$