与えられた式 $\{2(x+y)^2+2(x+y)+1\}\{2(x+y)+1\}$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $\{2(x+y)^2+2(x+y)+1\}\{2(x+y)+1\}$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$\{2(x+y)^2+2(x+y)+1\}\{2(x+y)+1\}$

$= \{2(x+y)^2+2(x+y)+1\}\{2(x+y)+1\}$

ここで、$X = x+y$ と置くと、

$\{2X^2 + 2X + 1\}\{2X+1\}$ となります。

この式を展開します。

$(2X^2 + 2X + 1)(2X+1) = 2X^2(2X+1) + 2X(2X+1) + 1(2X+1)$

$= 4X^3 + 2X^2 + 4X^2 + 2X + 2X + 1$

$= 4X^3 + 6X^2 + 4X + 1$

ここで、$2X+1 = A$ と置くと、$2X=A-1$ なので $X = (A-1)/2$ となります。

したがって、$4(\frac{A-1}{2})^3 + 6(\frac{A-1}{2})^2 + 4(\frac{A-1}{2}) + 1$ を計算します。

$=4\frac{(A-1)^3}{8} + 6\frac{(A-1)^2}{4} + 4\frac{(A-1)}{2} + 1$

$=\frac{1}{2}(A^3 - 3A^2 + 3A - 1) + \frac{3}{2}(A^2 - 2A + 1) + 2(A-1) + 1$

$=\frac{1}{2}A^3 - \frac{3}{2}A^2 + \frac{3}{2}A - \frac{1}{2} + \frac{3}{2}A^2 - 3A + \frac{3}{2} + 2A - 2 + 1$

$=\frac{1}{2}A^3 + (\frac{3}{2} - 3 + 2)A + (-\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 2 + 1) = \frac{1}{2}A^3 + \frac{1}{2}A + 0$

$=\frac{1}{2}A^3 + \frac{1}{2}A = \frac{1}{2}A(A^2+1)$

$A = 2(x+y) + 1$を代入すると

$\frac{1}{2}(2(x+y)+1)((2(x+y)+1)^2 + 1)$

$=\frac{1}{2}(2(x+y)+1)(4(x+y)^2 + 4(x+y) + 1 + 1)$

$=\frac{1}{2}(2(x+y)+1)(4(x+y)^2 + 4(x+y) + 2)$

$=(2(x+y)+1)(2(x+y)^2 + 2(x+y) + 1)$

元に戻って考えます。

$(2(x+y)+1)(2(x+y)^2+2(x+y)+1) = 2(x+y)+1)(2(x+y)^2+2(x+y)+1)$

与式は$(2X+1)(2X^2+2X+1)$ である。

このままが因数分解の結果である。

3. 最終的な答え

$(2(x+y)+1)(2(x+y)^2+2(x+y)+1)$