$a$を正の定数として、不等式$|2x-3| \le a$ について、 (1) 不等式の解を求める。 (2) $a=4$のとき、不等式を満たす整数$x$の個数を求める。 (3) 不等式を満たす整数$x$がちょうど6個存在するような$a$の値の範囲を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

$a$を正の定数として、不等式$|2x-3| \le a$ について、

(1) 不等式の解を求める。

(2) $a=4$のとき、不等式を満たす整数$x$の個数を求める。

(3) 不等式を満たす整数$x$がちょうど6個存在するような$a$の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $|2x-3| \le a$ の解を求める。

絶対値記号を外すと、

$-a \le 2x-3 \le a$

各辺に3を足すと、

$3-a \le 2x \le a+3$

各辺を2で割ると、

$\frac{3-a}{2} \le x \le \frac{a+3}{2}$

(2) $a=4$のとき、不等式 $\frac{3-a}{2} \le x \le \frac{a+3}{2}$ を満たす整数 $x$ の個数を求める。

$a=4$ を代入すると、

$\frac{3-4}{2} \le x \le \frac{4+3}{2}$

$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{7}{2}$

$-0.5 \le x \le 3.5$

これを満たす整数$x$は、$0, 1, 2, 3$ の4個である。

(3) 不等式 $\frac{3-a}{2} \le x \le \frac{a+3}{2}$ を満たす整数$x$がちょうど6個存在するような$a$の値の範囲を求める。

まず、 $\frac{3-a}{2}$ と $\frac{a+3}{2}$ の中点は $\frac{(\frac{3-a}{2} + \frac{a+3}{2})}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$ である。

整数が6個ということは、中点の周りに対称に整数が存在すると考えられる。

例えば、整数 $x$ が $-1, 0, 1, 2, 3, 4$ の6個存在する場合、$1.5$ は $1$ と $2$ の中点である。

整数が6個存在する場合、中心の整数に対して左右に3個ずつ整数が存在する場合、

$\frac{a+3}{2}$ が取りうる範囲は、

$\frac{3-a}{2} < -2.5$ かつ $\frac{a+3}{2} \ge 3.5$を満たす。

$3-a < -5$ より、$a > 8$

$a+3 \ge 7$ より、$a \ge 4$

よって、$a > 8$

$\frac{a+3}{2}$ が $3.5$ より大きい場合は、

$\frac{3-a}{2} > -3.5$ かつ $\frac{a+3}{2} \le 4.5$を満たす。

$3-a > -7$ より、$a < 10$

$a+3 \le 9$ より、$a \le 6$

$\frac{3-a}{2} \le -3$ かつ　$\frac{a+3}{2} < 4$ となる場合

$3 - a \le -6$, $a \ge 9$

$a + 3 < 8$, $a < 5$

なので矛盾する。

したがって、$\frac{a+3}{2} - \frac{3-a}{2} = \frac{2a}{2} = a$ が整数$x$の範囲の幅になる。

$n-0.5 \le \frac{3-a}{2}, \frac{a+3}{2} \le n+5.5$である必要がある.

-3 $\le \frac{3-a}{2}$ かつ $\frac{a+3}{2}$ $\le$3

$6< a 10$

$\frac{a+3}{2}$ から $\frac{3-a}{2}$を引いて、

$\frac{a+3}{2} - \frac{3-a}{2}= a$

よって、aは、 $5 \le a <7$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3-a}{2} \le x \le \frac{a+3}{2}$

(2) 4個

(3) $5 \le a < 7$