正の定数 $a$ に対して、不等式 $|2x-3| \le a$ が与えられている。(1) この不等式の解を求めよ。(2) $a=4$ のとき、この不等式を満たす整数 $x$ の個数を求めよ。(3) この不等式を満たす整数 $x$ がちょうど6個存在するような $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

正の定数 $a$ に対して、不等式 $|2x-3| \le a$ が与えられている。(1) この不等式の解を求めよ。(2) $a=4$ のとき、この不等式を満たす整数 $x$ の個数を求めよ。(3) この不等式を満たす整数 $x$ がちょうど6個存在するような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $|2x-3| \le a$ の解を求める。絶対値の不等式なので、

$-a \le 2x-3 \le a$

各辺に3を足すと

$3-a \le 2x \le 3+a$

各辺を2で割ると

$\frac{3-a}{2} \le x \le \frac{3+a}{2}$

(2) $a=4$ のとき、不等式は $\frac{3-4}{2} \le x \le \frac{3+4}{2}$ となり、

$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{7}{2}$

$-0.5 \le x \le 3.5$

この範囲に含まれる整数 $x$ は、0, 1, 2, 3 の4個である。

(3) 不等式 $\frac{3-a}{2} \le x \le \frac{3+a}{2}$ を満たす整数 $x$ がちょうど6個存在する場合を考える。$x$ が整数なので、$x$ の範囲は整数で近似して考えることができる。

$n \le \frac{3-a}{2} < n+1$ かつ $m-1 < \frac{3+a}{2} \le m$ を満たす整数 $n, m$ が存在するとする。

この時、$m-n+1=6$ すなわち $m-n=5$ が必要。

$x$ が整数であることに注意すると、

$x$ が6個であるためには、

$\frac{3+a}{2} - \frac{3-a}{2} = \frac{2a}{2} = a$

が5より大きく6より小さい必要がある。

$x$ が整数であるから、

$\frac{3+a}{2} - \frac{3-a}{2} = a$ がちょうど6個の整数を含むような範囲を求める。

$\frac{3-a}{2}$ と $\frac{3+a}{2}$ の間にある整数の個数がちょうど6個となる条件を考える。

$\frac{3+a}{2} - \frac{3-a}{2} = \frac{2a}{2} = a$

$a$が5より大きく7より小さい必要がある。

$\frac{3+a}{2} - \frac{3-a}{2} = a > 5$ が成り立つのは明らか

$\frac{3-a}{2}$ に最も近い整数を $n$ とすると

$n \le \frac{3-a}{2}$ かつ $\frac{3+a}{2} \le n+5$ を満たす必要があり、また、$\frac{3+a}{2} < n+6$

$\frac{3+a}{2} - (\frac{3-a}{2}-1) > 5$, $\frac{3+a}{2} - (\frac{3-a}{2}+1) < 6$ を満たしている

$5 < a \le 7$ の範囲で考える

$a > 5$のとき、$\frac{3+a}{2} - \frac{3-a}{2} = \frac{2a}{2} = a > 5$

整数$x$ が6個存在するためには、

$5 < a \le 7$ のように条件を絞り込む必要がある。

$\frac{3+a}{2} - \frac{3-a}{2} = \frac{2a}{2} = a$ が整数にならない場合も考えて、$5 < a \le 7$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3-a}{2} \le x \le \frac{3+a}{2}$

(2) 4個

(3) $5 < a \le 7$