二項定理を用いて、以下の等式が成り立つことを示す問題です。 $$ {}_nC_0 - {}_nC_1 \frac{1}{2} + {}_nC_2 \frac{1}{2^2} - {}_nC_3 \frac{1}{2^3} + \dots + (-1)^n {}_nC_n \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2^n} $$

1. 問題の内容

二項定理を用いて、以下の等式が成り立つことを示す問題です。

$${}_nC_0 - {}_nC_1 \frac{1}{2} + {}_nC_2 \frac{1}{2^2} - {}_nC_3 \frac{1}{2^3} + \dots + (-1)^n {}_nC_n \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2^n}$$

2. 解き方の手順

二項定理を適用します。二項定理とは、任意の数$a, b$と正の整数$n$に対して、

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {}_nC_k a^{n-k} b^k = {}_nC_0 a^n + {}_nC_1 a^{n-1} b + {}_nC_2 a^{n-2} b^2 + \dots + {}_nC_n b^n$$

が成り立つという定理です。

この問題では、$a = 1$、$b = -\frac{1}{2}$ を代入します。

$$(1 - \frac{1}{2})^n = \sum_{k=0}^n {}_nC_k (1)^{n-k} (-\frac{1}{2})^k = \sum_{k=0}^n {}_nC_k (-\frac{1}{2})^k$$

これを展開すると、

$$(1 - \frac{1}{2})^n = {}_nC_0 - {}_nC_1 \frac{1}{2} + {}_nC_2 \frac{1}{2^2} - {}_nC_3 \frac{1}{2^3} + \dots + (-1)^n {}_nC_n \frac{1}{2^n}$$

左辺を計算すると、

$$(1 - \frac{1}{2})^n = (\frac{1}{2})^n = \frac{1}{2^n}$$

したがって、

$${}_nC_0 - {}_nC_1 \frac{1}{2} + {}_nC_2 \frac{1}{2^2} - {}_nC_3 \frac{1}{2^3} + \dots + (-1)^n {}_nC_n \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2^n}$$

が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$${}_nC_0 - {}_nC_1 \frac{1}{2} + {}_nC_2 \frac{1}{2^2} - {}_nC_3 \frac{1}{2^3} + \dots + (-1)^n {}_nC_n \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2^n}$$