$a, b$ は実数とする。4次方程式 $x^4 - x^3 + 2x^2 + ax + b = 0$ が $1 + 2i$ を解にもつとき、$a, b$ の値と、他の解を求めよ。

1. 問題の内容

$a, b$ は実数とする。4次方程式 $x^4 - x^3 + 2x^2 + ax + b = 0$ が $1 + 2i$ を解にもつとき、$a, b$ の値と、他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

$1+2i$ が解であるとき、係数が実数なので、共役複素数である $1-2i$ も解である。したがって、$x^4 - x^3 + 2x^2 + ax + b$ は $(x - (1+2i))(x - (1-2i)) = (x-1-2i)(x-1+2i) = (x-1)^2 - (2i)^2 = x^2 - 2x + 1 + 4 = x^2 - 2x + 5$ で割り切れる。

実際に割り算を行うと、

```

x^2 + x - 1

x^2-2x+5 | x^4 - x^3 + 2x^2 + ax + b

x^4 - 2x^3 + 5x^2

------------------

x^3 - 3x^2 + ax

x^3 - 2x^2 + 5x

------------------

-x^2 + (a-5)x + b

-x^2 + 2x - 5

------------------

(a-7)x + b + 5

```

割り切れるためには、余りが0でなければならないので、

$(a-7)x + b + 5 = 0$ となる必要があり、$a-7=0$ かつ $b+5=0$ でなければならない。

したがって、$a=7, b=-5$ である。

このとき、 $x^4 - x^3 + 2x^2 + 7x - 5 = (x^2 - 2x + 5)(x^2 + x - 1) = 0$ となる。

$x^2 + x - 1 = 0$ の解は、解の公式より $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ である。

3. 最終的な答え

$a = 7$, $b = -5$

他の解は $1-2i$, $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$, $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$