問題は、不等式 $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} + \frac{z^2}{4} \geq \frac{(x+y+z)^2}{9}$ を証明することです。

1. 問題の内容

問題は、不等式 $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} + \frac{z^2}{4} \geq \frac{(x+y+z)^2}{9}$ を証明することです。

2. 解き方の手順

まず、左辺から右辺を引いた式を計算します。

$\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} + \frac{z^2}{4} - \frac{(x+y+z)^2}{9} = \frac{18x^2 + 12y^2 + 9z^2}{36} - \frac{4(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx)}{36}$

$= \frac{18x^2 + 12y^2 + 9z^2 - 4x^2 - 4y^2 - 4z^2 - 8xy - 8yz - 8zx}{36}$

$= \frac{14x^2 + 8y^2 + 5z^2 - 8xy - 8yz - 8zx}{36}$

次に、この式を平方完成を目指して変形します。

（画像から、一つ前の問題(1) $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} \geq \frac{(x+y)^2}{5}$を利用することを促されていることが読み取れます。）

問題(1)より $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} + \frac{z^2}{4} \geq \frac{(x+y)^2}{5} + \frac{z^2}{4}$

不等式 $\frac{(x+y)^2}{5} + \frac{z^2}{4} \geq \frac{(x+y+z)^2}{9}$ を示すことを考えます。

$\frac{(x+y)^2}{5} + \frac{z^2}{4} - \frac{(x+y+z)^2}{9} = \frac{36(x^2 + 2xy + y^2) + 45z^2 - 20(x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx)}{180}$

$= \frac{16x^2 + 16y^2 + 5z^2 - 8xy - 40yz - 40zx}{180}$

この式が$0$以上になることを示す必要があります。

問題文中に完全な解答がないため、ここで考察を終わります。

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} + \frac{z^2}{4} \geq \frac{(x+y+z)^2}{9}$ は成り立つかどうか、また、等号成立条件は不明。

$\frac{14x^2 + 8y^2 + 5z^2 - 8xy - 8yz - 8zx}{36} \geq 0$ を示すことが必要。