不等式 $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} + \frac{z^2}{4} \ge \frac{(x+y+z)^2}{9}$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} + \frac{z^2}{4} \ge \frac{(x+y+z)^2}{9}$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める。

2. 解き方の手順

まず、左辺から右辺を引いたものを計算する。

$\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} + \frac{z^2}{4} - \frac{(x+y+z)^2}{9}$

$=\frac{1}{36}(18x^2 + 12y^2 + 9z^2 - 4(x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx))$

$=\frac{1}{36}(18x^2 + 12y^2 + 9z^2 - 4x^2 - 4y^2 - 4z^2 - 8xy - 8yz - 8zx)$

$=\frac{1}{36}(14x^2 + 8y^2 + 5z^2 - 8xy - 8yz - 8zx)$

次に、この式を平方完成する。

$=\frac{1}{36}(2(4x^2 - 4xy + y^2) + 6x^2 + 6y^2 + 5z^2 - 8yz - 8zx)$

$=\frac{1}{36}(2(2x-y)^2 + 6(y^2 - \frac{4}{3}yz + \frac{4}{9}z^2) + 5z^2 - \frac{8}{3}z^2 - \frac{12}{3}zx + \frac{4}{3}yz - 8zx)$

$=\frac{1}{36}[2(2x-y)^2 + 6(y - \frac{2}{3}z)^2 + \frac{7}{3}z^2 - 8zx - \frac{8}{3}zx + \frac{4}{3}z^2 + \frac{8}{3}zx - \frac{12}{3}zx]$

$=\frac{1}{36}(2(2x-y)^2 + 6(y - \frac{2}{3}z)^2 + 5z^2 - \frac{8}{3}zx-\frac{8}{3}zy)$

$=\frac{1}{36}(2(2x-y)^2 + \frac{8}{3}(y^2 - \frac{8}{6}yz + \frac{4}{9}z^2) - \frac{6}{3} zx + \frac{12}{9} z^2)$

$\frac{1}{36}[2(2x-y)^2 + 4y^2+5z^2 - 8/3zy- 8zx/3]$

別解を試す

$\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} + \frac{z^2}{4} - \frac{(x+y+z)^2}{9} \ge 0$

$\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} + \frac{z^2}{4} \ge \frac{(x+y+z)^2}{9}$

コーシー・シュワルツの不等式を用いる。

$(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) \ge (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)^2$

$a_1 = \frac{x}{\sqrt{2}}, a_2 = \frac{y}{\sqrt{3}}, a_3 = \frac{z}{\sqrt{4}}$

$b_1 = \sqrt{2}, b_2 = \sqrt{3}, b_3 = \sqrt{4}$ とすると、

$(\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} + \frac{z^2}{4})(2+3+4) \ge (x+y+z)^2$

$(\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} + \frac{z^2}{4})(9) \ge (x+y+z)^2$

$\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} + \frac{z^2}{4} \ge \frac{(x+y+z)^2}{9}$

等号成立条件は $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}$

$\frac{\frac{x}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} = \frac{\frac{y}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}} = \frac{\frac{z}{\sqrt{4}}}{\sqrt{4}}$

$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$

3. 最終的な答え

不等式 $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} + \frac{z^2}{4} \ge \frac{(x+y+z)^2}{9}$ は証明された。

等号が成り立つのは $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ のとき。