画像に書かれている数学の問題は、以下の不等式とその証明、および等号成立条件を扱っています。 (1) $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} + \frac{z^2}{4} \geq \frac{(x+y)^2}{5} + \frac{z^2}{4}$ (2) $\frac{(x+y)^2}{5} + \frac{z^2}{4} \geq \frac{(x+y+z)^2}{9}$ (3) 上記 (1), (2) より、 $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} + \frac{z^2}{4} \geq \frac{(x+y+z)^2}{9}$ そして、この不等式が等号成立する条件は $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ であることを示しています。

1. 問題の内容

画像に書かれている数学の問題は、以下の不等式とその証明、および等号成立条件を扱っています。

(1) $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} + \frac{z^2}{4} \geq \frac{(x+y)^2}{5} + \frac{z^2}{4}$

(2) $\frac{(x+y)^2}{5} + \frac{z^2}{4} \geq \frac{(x+y+z)^2}{9}$

(3) 上記 (1), (2) より、 $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} + \frac{z^2}{4} \geq \frac{(x+y+z)^2}{9}$

そして、この不等式が等号成立する条件は $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ であることを示しています。

2. 解き方の手順

画像の式変形を順番に確認し、不等式が成り立つことと、等号成立条件を導く流れを確認します。

* **ステップ1: 不等式(2)の証明**

不等式(2)の左辺と右辺の差を計算し、それが0以上であることを示すことで、不等式(2)を証明しています。

$\frac{(x+y)^2}{5} + \frac{z^2}{4} - \frac{(x+y+z)^2}{9} = \frac{1}{180} [36(x+y)^2 + 45z^2 - 20(x+y+z)^2]$

$= \frac{1}{180} [36(x+y)^2 + 45z^2 - 20((x+y)^2 + 2(x+y)z + z^2)]$

$= \frac{1}{180} [36(x+y)^2 + 45z^2 - 20(x+y)^2 - 40(x+y)z - 20z^2]$

$= \frac{1}{180} [16(x+y)^2 - 40(x+y)z + 25z^2]$

$= \frac{1}{180} [4(x+y) - 5z]^2 \geq 0$

平方項は常に0以上なので、不等式(2)が成り立つことが証明されました。

* **ステップ2: 不等式(3)の証明**

不等式(1)と(2)から、不等式(3)は直接導かれます。

$\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} + \frac{z^2}{4} \geq \frac{(x+y)^2}{5} + \frac{z^2}{4} \geq \frac{(x+y+z)^2}{9}$

* **ステップ3: 等号成立条件**

不等式(2)で等号が成立するのは、$[4(x+y) - 5z]^2 = 0$ のとき、すなわち $4(x+y) = 5z$ のときです。

また、不等式(1)で等号が成立するのは、$x/2 = y/3$ のときです。

したがって、不等式(3)で等号が成立するのは、$x/2 = y/3$ かつ $4(x+y) = 5z$ のときです。

$x/2 = y/3 = k$ とおくと、$x = 2k$, $y = 3k$ となり、 $4(x+y) = 4(2k+3k) = 20k = 5z$ より、$z = 4k$ となります。

よって、$x/2 = y/3 = z/4 = k$ 、すなわち $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ のときに等号が成立します。

3. 最終的な答え

問題文に示された不等式(3) $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} + \frac{z^2}{4} \geq \frac{(x+y+z)^2}{9}$ は成り立ち、等号が成立するのは $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ のときです。