与えられた式 $ (x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15 $ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$(x-1)(x-7)$ と $(x-3)(x-5)$ をそれぞれ展開します。

$(x-1)(x-7) = x^2 - 8x + 7$

$(x-3)(x-5) = x^2 - 8x + 15$

ここで、$x^2 - 8x = A$ と置くと、与えられた式は次のようになります。

$(A + 7)(A + 15) + 15$

これを展開します。

$A^2 + 22A + 105 + 15 = A^2 + 22A + 120$

この式を因数分解します。

$A^2 + 22A + 120 = (A + 10)(A + 12)$

$A = x^2 - 8x$ を元に戻します。

$(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12)$

$x^2 - 8x + 12$ はさらに因数分解できます。

$x^2 - 8x + 12 = (x - 2)(x - 6)$

したがって、与えられた式は次のように因数分解できます。

$(x^2 - 8x + 10)(x - 2)(x - 6)$

3. 最終的な答え

$(x^2 - 8x + 10)(x - 2)(x - 6)$