与えられた式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、適切な項の組み合わせを見つけます。

$-1 - 7 = -8$ および $-3 - 5 = -8$ なので、$(x-1)$ と $(x-7)$, $(x-3)$ と $(x-5)$ をそれぞれ組み合わせます。

$(x-1)(x-7) = x^2 - 8x + 7$

$(x-3)(x-5) = x^2 - 8x + 15$

$A = x^2 - 8x$ と置くと、式は

$(A+7)(A+15) + 15$

$= A^2 + 22A + 105 + 15$

$= A^2 + 22A + 120$

$120 = 12 \times 10$ であり、$12 + 10 = 22$ なので、

$A^2 + 22A + 120 = (A+10)(A+12)$

$A = x^2 - 8x$ を代入して、

$(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12)$

さらに、$x^2 - 8x + 12 = (x-2)(x-6)$ と因数分解できるので、

$(x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)$

3. 最終的な答え

$(x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)$