与えられた式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、式を適切に組み合わせて展開し、共通因数を見つけやすくする。定数項の和が等しくなるように組み合わせる。

$(x-1)(x-7)$ と $(x-3)(x-5)$ を組み合わせると、それぞれの定数項の和は $-8$ となる。

$(x-1)(x-7) = x^2 - 8x + 7$

$(x-3)(x-5) = x^2 - 8x + 15$

ここで、$y = x^2 - 8x$ とおくと、式は次のように書き換えられる。

$(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15 = (x^2 - 8x + 7)(x^2 - 8x + 15) + 15 = (y+7)(y+15) + 15$

これを展開すると、

$(y+7)(y+15) + 15 = y^2 + 22y + 105 + 15 = y^2 + 22y + 120$

この二次式を因数分解すると、

$y^2 + 22y + 120 = (y+10)(y+12)$

ここで、$y = x^2 - 8x$ を代入して戻すと、

$(y+10)(y+12) = (x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12)$

さらに、$x^2 - 8x + 12$ は因数分解できる。

$x^2 - 8x + 12 = (x-2)(x-6)$

したがって、

$(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12) = (x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)$

3. 最終的な答え

$(x-2)(x-6)(x^2-8x+10)$