(1) 2次不等式 $2x^2 - 5x + 3 > 0$ の解を求める。 (2) 2次不等式 $x^2 - 4x + 2 \le 0$ の解を求める。 (3) 2次不等式 $x^2 + 6x + k > 0$ がすべての実数 $x$ で成り立つときの、定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

(1) 2次不等式 $2x^2 - 5x + 3 > 0$ の解を求める。

(2) 2次不等式 $x^2 - 4x + 2 \le 0$ の解を求める。

(3) 2次不等式 $x^2 + 6x + k > 0$ がすべての実数 $x$ で成り立つときの、定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$2x^2 - 5x + 3 > 0$

$(2x - 3)(x - 1) > 0$

よって、$x < 1$ または $x > \frac{3}{2}$

(2)

$x^2 - 4x + 2 \le 0$

解の公式より

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2}$

$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2}$

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

よって、$2 - \sqrt{2} \le x \le 2 + \sqrt{2}$

(3)

$x^2 + 6x + k > 0$

この不等式がすべての実数 $x$ で成り立つためには、$x^2 + 6x + k = 0$ の判別式 $D$ が $D < 0$ である必要がある。

$D = 6^2 - 4(1)(k) = 36 - 4k$

$36 - 4k < 0$

$4k > 36$

$k > 9$

3. 最終的な答え

(1) ア: 1, イ: 3, ウ: 2

(2) エ: 2, オ: 2

(3) ア: 9