$3x = -4y = 6z \neq 0$ のとき、$\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$3x = -4y = 6z \neq 0$ のとき、$\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$3x = -4y = 6z$ という条件から、$x, y, z$ を一つの変数で表します。

$3x = -4y = 6z = k$ とおきます (ただし、$k \neq 0$ )。

このとき、

$x = \frac{k}{3}$,

$y = -\frac{k}{4}$,

$z = \frac{k}{6}$

となります。

次に、$xy+yz+zx$ と $x^2+y^2+z^2$ をそれぞれ $k$ を用いて表します。

$xy = \frac{k}{3} \cdot (-\frac{k}{4}) = -\frac{k^2}{12}$

$yz = (-\frac{k}{4}) \cdot (\frac{k}{6}) = -\frac{k^2}{24}$

$zx = (\frac{k}{6}) \cdot (\frac{k}{3}) = \frac{k^2}{18}$

したがって、

$xy+yz+zx = -\frac{k^2}{12} - \frac{k^2}{24} + \frac{k^2}{18} = (-\frac{6}{72} - \frac{3}{72} + \frac{4}{72})k^2 = -\frac{5}{72}k^2$

$x^2 = (\frac{k}{3})^2 = \frac{k^2}{9}$

$y^2 = (-\frac{k}{4})^2 = \frac{k^2}{16}$

$z^2 = (\frac{k}{6})^2 = \frac{k^2}{36}$

したがって、

$x^2+y^2+z^2 = \frac{k^2}{9} + \frac{k^2}{16} + \frac{k^2}{36} = (\frac{16}{144} + \frac{9}{144} + \frac{4}{144})k^2 = \frac{29}{144}k^2$

求める値は、

$\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2} = \frac{-\frac{5}{72}k^2}{\frac{29}{144}k^2} = -\frac{5}{72} \cdot \frac{144}{29} = -\frac{5 \cdot 2}{29} = -\frac{10}{29}$

3. 最終的な答え

$-\frac{10}{29}$