全体集合 $U = \{x | 1 \le x \le 10, x は整数\}$ の部分集合 $A = \{2, 3, 6, 7\}$, $B \cap C = \{3, 4\}$, $\overline{B} \cap \overline{C} = \{7, 9, 10\}$, $\overline{B} \cap C = \{5, 6\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める問題です。 (1) $A \cap B \cap C$ (2) $\overline{A \cup B \cup C}$ (3) $C$ (4) $B$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{x | 1 \le x \le 10, x は整数\}$ の部分集合 $A = \{2, 3, 6, 7\}$, $B \cap C = \{3, 4\}$, $\overline{B} \cap \overline{C} = \{7, 9, 10\}$, $\overline{B} \cap C = \{5, 6\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める問題です。

(1) $A \cap B \cap C$

(2) $\overline{A \cup B \cup C}$

(3) $C$

(4) $B$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B \cap C$ を求める。

$B \cap C = \{3, 4\}$ である。$A = \{2, 3, 6, 7\}$ との共通部分を取ると、

$A \cap (B \cap C) = \{2, 3, 6, 7\} \cap \{3, 4\} = \{3\}$

よって、 $A \cap B \cap C = \{3\}$

(2) $\overline{A \cup B \cup C}$ を求める。

ド・モルガンの法則より、$\overline{A \cup B \cup C} = \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$A = \{2, 3, 6, 7\}$ なので $\overline{A} = \{1, 4, 5, 8, 9, 10\}$

$\overline{B \cup C} = \overline{B} \cap \overline{C} = \{7, 9, 10\}$

$B \cup C = \overline{\{7, 9, 10\}} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\}$

また、$U = (B \cap C) \cup (\overline{B} \cap C) \cup (B \cap \overline{C}) \cup (\overline{B} \cap \overline{C})$

$B \cap C = \{3, 4\}$

$\overline{B} \cap C = \{5, 6\}$

$\overline{B} \cap \overline{C} = \{7, 9, 10\}$

よって $B \cap \overline{C}$ が求まれば $B$ と $C$ が求められる。

$B = (B \cap C) \cup (B \cap \overline{C}) = \{3, 4\} \cup (B \cap \overline{C})$

$C = (B \cap C) \cup (\overline{B} \cap C) = \{3, 4\} \cup \{5, 6\} = \{3, 4, 5, 6\}$

$C = \{3, 4, 5, 6\}$ なので $\overline{C} = \{1, 2, 7, 8, 9, 10\}$

$\overline{B} = (\overline{B} \cap C) \cup (\overline{B} \cap \overline{C}) = \{5, 6\} \cup \{7, 9, 10\} = \{5, 6, 7, 9, 10\}$

よって $B = \{1, 2, 3, 4, 8\}$

$\overline{B} = \{5, 6, 7, 9, 10\}$

$\overline{A} = \{1, 4, 5, 8, 9, 10\}$

$\overline{C} = \{1, 2, 7, 8, 9, 10\}$

$\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C} = \{1, 4, 5, 8, 9, 10\} \cap \{5, 6, 7, 9, 10\} \cap \{1, 2, 7, 8, 9, 10\} = \{9, 10\}$

(3) $C$ を求める。

上の計算より、$C = \{3, 4, 5, 6\}$

(4) $B$ を求める。

上の計算より、$B = \{1, 2, 3, 4, 8\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B \cap C = \{3\}$

(2) $\overline{A \cup B \cup C} = \{9, 10\}$

(3) $C = \{3, 4, 5, 6\}$

(4) $B = \{1, 2, 3, 4, 8\}$