点Oから水平方向に初速度14.7 m/sで投げられた小球が、19.6 m落下した点Pを通過するときの、以下の値を求める問題です。 (1) 点Pを通過する時刻 $t$ (2) 点Pを通過する時の水平方向の速度成分 $v_x$ (3) 点Pを通過する時の鉛直方向の速度成分 $v_y$ (4) 点Pを通過する時の速さ $v$

1. 問題の内容

点Oから水平方向に初速度14.7 m/sで投げられた小球が、19.6 m落下した点Pを通過するときの、以下の値を求める問題です。

(1) 点Pを通過する時刻 $t$

(2) 点Pを通過する時の水平方向の速度成分 $v_x$

(3) 点Pを通過する時の鉛直方向の速度成分 $v_y$

(4) 点Pを通過する時の速さ $v$

2. 解き方の手順

(1) 時刻 $t$ の計算

小球の鉛直方向の運動は自由落下なので、落下距離 $y$ は以下の式で表されます。

$y = \frac{1}{2}gt^2$

ここで、$y = 19.6$ m, $g = 9.8$ m/s² なので、$t$ を求めます。

$19.6 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$

$t^2 = \frac{19.6 \times 2}{9.8} = 4$

$t = \sqrt{4} = 2$ s

(2) 水平方向の速度成分 $v_x$ の計算

水平方向には力が働かないため、速度は一定です。したがって、

$v_x = 14.7$ m/s

(3) 鉛直方向の速度成分 $v_y$ の計算

鉛直方向の速度は、等加速度運動の式 $v = v_0 + gt$ で表されます。初速度 $v_0 = 0$ m/sなので、

$v_y = gt$

$v_y = 9.8 \times 2 = 19.6$ m/s

(4) 速さ $v$ の計算

点Pでの速さ $v$ は、$v_x$ と $v_y$ の合成ベクトルなので、ピタゴラスの定理より、

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

$v = \sqrt{14.7^2 + 19.6^2} = \sqrt{216.09 + 384.16} = \sqrt{600.25} = 24.5$ m/s

3. 最終的な答え

(1) 時刻 $t = 2$ s

(2) 水平方向の速度成分 $v_x = 14.7$ m/s

(3) 鉛直方向の速度成分 $v_y = 19.6$ m/s

(4) 速さ $v = 24.5$ m/s