2次関数 $y = -x^2 - 2x + 1$ のグラフに関する問題です。まず、グラフが上に凸か下に凸か、軸、頂点の座標を求めます。次に、この放物線を $x$ 軸方向に $-3$, $y$ 軸方向に $5$ だけ平行移動した放物線 $C$ の方程式を求めます。最後に、放物線 $C$ を原点に関して対称移動した放物線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 - 2x + 1$ のグラフに関する問題です。まず、グラフが上に凸か下に凸か、軸、頂点の座標を求めます。次に、この放物線を $x$ 軸方向に $-3$, $y$ 軸方向に $5$ だけ平行移動した放物線 $C$ の方程式を求めます。最後に、放物線 $C$ を原点に関して対称移動した放物線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y = -x^2 - 2x + 1$ を平方完成します。

$y = -(x^2 + 2x) + 1 = -(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1 = -(x+1)^2 + 1 + 1 = -(x+1)^2 + 2$

このグラフは、上に凸の放物線であり、軸は直線 $x = -1$ です。頂点の座標は $(-1, 2)$ です。

(2) 放物線 $y = -(x+1)^2 + 2$ を $x$ 軸方向に $-3$, $y$ 軸方向に $5$ だけ平行移動すると、

$y - 5 = -((x + 3) + 1)^2 + 2$

$y - 5 = -(x+4)^2 + 2$

$y = -(x+4)^2 + 7$

$y = -(x^2 + 8x + 16) + 7$

$y = -x^2 - 8x - 16 + 7$

$y = -x^2 - 8x - 9$

(3) 放物線 $C$: $y = -x^2 - 8x - 9$ を原点に関して対称移動すると、

$-y = -(-x)^2 - 8(-x) - 9$

$-y = -x^2 + 8x - 9$

$y = x^2 - 8x + 9$

3. 最終的な答え

ア：上

イ：$x = -1$

ウ：$(-1, 2)$

エ：$y = -x^2 - 8x - 9$

オ：$y = x^2 - 8x + 9$