問題は、関数 $f(x) = 2^{ax}$ と $g(x) = -2^{bx}$ が与えられたときに、$a=1$ の場合について、関数 $f(x)$ の値、$b$ の値、曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ の関係などを求める問題です。具体的には、ア、イウ、エ、オに当てはまるものを答えます。

1. 問題の内容

問題は、関数 $f(x) = 2^{ax}$ と $g(x) = -2^{bx}$ が与えられたときに、$a=1$ の場合について、関数 $f(x)$ の値、$b$ の値、曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ の関係などを求める問題です。具体的には、ア、イウ、エ、オに当てはまるものを答えます。

2. 解き方の手順

(1) $a=1$ のとき、$f(x) = 2^x$ です。

$f(1) = 2^1 = 2$ なので、アには 2 が入ります。曲線 $y=f(x)$ は点$(1,2)$ を通ります。

曲線 $y=g(x)$ が点 $(-1, -2)$ を通る時、$g(-1) = -2$ なので、

$-2^{b(-1)} = -2$

$2^{-b} = 2^1$

$-b = 1$

$b = -1$

よって、イウには -1 が入ります。

曲線 $y=f(x)$ をCとし、$b = -1$ のときの曲線 $y=g(x)$ をDとします。

$y = f(x) = 2^x$

$y = g(x) = -2^{-x}$

$y = g(x) = - (2^{-x}) = - (2^x)^{-1}$

$y = g(x) = - \left(\frac{1}{2}\right)^x$

$y=g(x)$ のグラフは、$y = 2^x$ のグラフを$x$軸に関して反転させ、さらに $y$軸に対して反転させたものとなるため、エ に入るグラフは④となります。

曲線 $y=f(x)$ を原点に関して対称移動すると、$y=-f(-x) = -2^{-x} = g(x)$ となり、曲線Dと一致します。よって、オ には ②（原点）が入ります。

3. 最終的な答え

ア: 2

イウ: -1

エ: ④

オ: ②