$\frac{x+y}{2z} = \frac{y+z}{2x} = \frac{z+x}{2y}$ のとき、この式の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{x+y}{2z} = \frac{y+z}{2x} = \frac{z+x}{2y}$ のとき、この式の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた等式 $\frac{x+y}{2z} = \frac{y+z}{2x} = \frac{z+x}{2y}$ を $k$ とおくと、

$$\frac{x+y}{2z} = \frac{y+z}{2x} = \frac{z+x}{2y} = k$$

したがって、

\begin{align*} \label{eq:1} x+y &= 2kz \\ y+z &= 2kx \\ z+x &= 2ky \end{align*}

これらの式をすべて足し合わせると、

$$(x+y) + (y+z) + (z+x) = 2kz + 2kx + 2ky$$

$$2(x+y+z) = 2k(x+y+z)$$

$$2(x+y+z) - 2k(x+y+z) = 0$$

$$2(x+y+z)(1-k) = 0$$

したがって、$x+y+z = 0$ または $k = 1$ となる。

(i) $x+y+z = 0$ のとき、

$x+y = -z$ であるから、

$$k = \frac{x+y}{2z} = \frac{-z}{2z} = -\frac{1}{2}$$

(ii) $k=1$ のとき、

\begin{align*} x+y &= 2z \\ y+z &= 2x \\ z+x &= 2y \end{align*}

したがって、

\begin{align*} x+y+z &= 3z \\ x+y+z &= 3x \\ x+y+z &= 3y \end{align*}

よって、$3x = 3y = 3z$ となり、$x=y=z$ である。

このとき、

$$k = \frac{x+y}{2z} = \frac{2x}{2x} = 1$$

したがって、$k = -\frac{1}{2}$ または $k=1$ である。

したがって、式の値は $-\frac{1}{2}$ または $1$ である。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}, 1$