$\frac{x+y}{2z} = \frac{y+z}{2x} = \frac{z+x}{2y}$ が与えられたとき、この式の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{x+y}{2z} = \frac{y+z}{2x} = \frac{z+x}{2y}$ が与えられたとき、この式の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた条件 $\frac{x+y}{2z} = \frac{y+z}{2x} = \frac{z+x}{2y}$ を $k$ とおきます。

$\frac{x+y}{2z} = k$ より、 $x+y = 2kz$

$\frac{y+z}{2x} = k$ より、 $y+z = 2kx$

$\frac{z+x}{2y} = k$ より、 $z+x = 2ky$

これらの3つの式を足し合わせると、

$(x+y) + (y+z) + (z+x) = 2kz + 2kx + 2ky$

$2(x+y+z) = 2k(x+y+z)$

$2(x+y+z) - 2k(x+y+z) = 0$

$2(x+y+z)(1-k) = 0$

したがって、$x+y+z = 0$ または $k = 1$ が成り立ちます。

(i) $x+y+z = 0$ のとき

$x+y = -z$ なので、$\frac{x+y}{2z} = \frac{-z}{2z} = -\frac{1}{2}$

$y+z = -x$ なので、$\frac{y+z}{2x} = \frac{-x}{2x} = -\frac{1}{2}$

$z+x = -y$ なので、$\frac{z+x}{2y} = \frac{-y}{2y} = -\frac{1}{2}$

(ii) $k = 1$ のとき

$\frac{x+y}{2z} = 1$ より、 $x+y = 2z$

$\frac{y+z}{2x} = 1$ より、 $y+z = 2x$

$\frac{z+x}{2y} = 1$ より、 $z+x = 2y$

$x+y = 2z$, $y+z = 2x$, $z+x = 2y$ を足し合わせると

$2(x+y+z) = 2(x+y+z)$

この式からは $x, y, z$ の関係を導き出すことはできません。

$x+y=2z$ を $x+y+z=0$ に代入すると、$2z+z=0$より、$3z=0$ となり $z=0$ になる。同様に、$x=0$, $y=0$ となる。しかし、分母が0になることは許されないので、$x,y,z$ の少なくとも１つが0の場合、もとの式は定義されない。

$x+y = 2z$ と $y+z = 2x$ より $x-z = 2z-2x$ よって $3x=3z$ で $x=z$。同様に考えると、$x=y=z$ である。このとき、$\frac{x+y}{2z} = \frac{x+x}{2x} = \frac{2x}{2x} = 1$ が得られる。

したがって、与えられた式の値は $-\frac{1}{2}$ または $1$ です。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}$ または $1$