4つの行列$A = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 & 5 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 9 & 0 & 7 \\ 4 & 6 & -1 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 0 & -5 \\ -7 & 0 \end{pmatrix}$について、以下の問いに答える。 (a) これらの行列のうち、2つの行列の積が定義できるか否かを判定し、積が定義できる場合はその行列のサイズを答える。定義できない場合は(0,0)と答える。 (b) 積が定義できる行列の積を計算し、その結果を答える。

1. 問題の内容

4つの行列$A = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 & 5 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 9 & 0 & 7 \\ 4 & 6 & -1 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 0 & -5 \\ -7 & 0 \end{pmatrix}$について、以下の問いに答える。

(a) これらの行列のうち、2つの行列の積が定義できるか否かを判定し、積が定義できる場合はその行列のサイズを答える。定義できない場合は(0,0)と答える。

(b) 積が定義できる行列の積を計算し、その結果を答える。

2. 解き方の手順

(a) 行列のサイズを調べる。$A$は2x1行列、$B$は1x2行列、$C$は2x3行列、$D$は3x2行列である。

行列の積が定義できる条件は、前の行列の列数と後の行列の行数が等しいことである。

i) $AB$: $A$は2x1, $B$は1x2なので、積$AB$は定義でき、そのサイズは2x2である。

ii) $BA$: $B$は1x2, $A$は2x1なので、積$BA$は定義でき、そのサイズは1x1である。

iii) $AC$: $A$は2x1, $C$は2x3なので、積$AC$は定義できない。

iv) $CA$: $C$は2x3, $A$は2x1なので、積$CA$は定義できない。

v) $AD$: $A$は2x1, $D$は3x2なので、積$AD$は定義できない。

vi) $DA$: $D$は3x2, $A$は2x1なので、積$DA$は定義でき、そのサイズは3x1である。

vii) $BC$: $B$は1x2, $C$は2x3なので、積$BC$は定義でき、そのサイズは1x3である。

viii) $CB$: $C$は2x3, $B$は1x2なので、積$CB$は定義できない。

ix) $BD$: $B$は1x2, $D$は3x2なので、積$BD$は定義できない。

x) $DB$: $D$は3x2, $B$は1x2なので、積$DB$は定義でき、そのサイズは3x2である。

xi) $CD$: $C$は2x3, $D$は3x2なので、積$CD$は定義でき、そのサイズは2x2である。

xii) $DC$: $D$は3x2, $C$は2x3なので、積$DC$は定義でき、そのサイズは3x3である。

(b) 行列の積を計算する。

i) $AB = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & -10 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$

ii) $BA = \begin{pmatrix} 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \end{pmatrix}$

iii) $DA = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 0 & -5 \\ -7 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6-4 \\ 0-5 \\ 14+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 14 \end{pmatrix}$

iv) $BC = \begin{pmatrix} 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9 & 0 & 7 \\ 4 & 6 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 27+20 & 0+30 & 21-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 47 & 30 & 16 \end{pmatrix}$

v) $DB = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 0 & -5 \\ -7 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9-12 & -15-20 \\ 0-15 & 0-25 \\ -21+0 & -35+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -21 & -35 \\ -15 & -25 \\ -21 & -35 \end{pmatrix}$

vi) $CD = \begin{pmatrix} 9 & 0 & 7 \\ 4 & 6 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 0 & -5 \\ -7 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -27+0-49 & -36+0+0 \\ -12+0+7 & -16-30+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -76 & -36 \\ -5 & -46 \end{pmatrix}$

vii) $DC = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 0 & -5 \\ -7 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9 & 0 & 7 \\ 4 & 6 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -27-16 & 0-24 & -21+4 \\ 0-20 & 0-30 & 0+5 \\ -63+0 & 0+0 & -49+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -43 & -24 & -17 \\ -20 & -30 & 5 \\ -63 & 0 & -49 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 2

(3) 1

(4) 1

(5) 0

(6) 0

(7) 0

(8) 0

(9) 0

(10) 0

(11) 3

(12) 1

(13) 1

(14) 3

(15) 0

(16) 0

(17) 0

(18) 0

(19) 3

(20) 2

(21) 2

(22) 2

(23) 3

(24) 3

(25) -1

(26) -6

(27) -10

(28) 3

(29) 5

(30) 2

(31) -5

(32) 14

(33) 47

(34) 30

(35) 16

(36) -21

(37) -35

(38) -15

(39) -25

(40) -21

(41) -35

(42) -76

(43) -36

(44) -5

(45) -46

(46) -43

(47) -24