$x, y$ がすべての実数値をとるとき、$3x^2 + 2xy + y^2 + 4x - 4y + 3$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$x, y$ がすべての実数値をとるとき、$3x^2 + 2xy + y^2 + 4x - 4y + 3$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を $x$ について平方完成します。

$3x^2 + 2xy + y^2 + 4x - 4y + 3 = 3[x^2 + \frac{2}{3}(y+2)x] + y^2 - 4y + 3$

$= 3[x + \frac{1}{3}(y+2)]^2 - \frac{1}{3}(y+2)^2 + y^2 - 4y + 3$

$= 3[x + \frac{1}{3}(y+2)]^2 - \frac{1}{3}(y^2 + 4y + 4) + y^2 - 4y + 3$

$= 3[x + \frac{1}{3}(y+2)]^2 - \frac{1}{3}y^2 - \frac{4}{3}y - \frac{4}{3} + y^2 - 4y + 3$

$= 3[x + \frac{1}{3}(y+2)]^2 + \frac{2}{3}y^2 - \frac{16}{3}y + \frac{5}{3}$

次に、$\frac{2}{3}y^2 - \frac{16}{3}y + \frac{5}{3}$ を平方完成します。

$\frac{2}{3}y^2 - \frac{16}{3}y + \frac{5}{3} = \frac{2}{3}(y^2 - 8y) + \frac{5}{3}$

$= \frac{2}{3}(y - 4)^2 - \frac{2}{3}(16) + \frac{5}{3}$

$= \frac{2}{3}(y - 4)^2 - \frac{32}{3} + \frac{5}{3}$

$= \frac{2}{3}(y - 4)^2 - \frac{27}{3}$

$= \frac{2}{3}(y - 4)^2 - 9$

したがって、

$3x^2 + 2xy + y^2 + 4x - 4y + 3 = 3[x + \frac{1}{3}(y+2)]^2 + \frac{2}{3}(y - 4)^2 - 9$

$x = - \frac{1}{3}(y+2)$ かつ $y = 4$ のとき、最小値 $-9$ を取ります。

$y = 4$ のとき $x = - \frac{1}{3}(4+2) = -2$

3. 最終的な答え

-9