三角形ABCにおいて、辺BC上に点Dがあり、$BD:DC = 5:3$である。また、辺CEの中点をFとする。このとき、以下の問いに答えよ。 (1) $AE:EB$を求めよ。 (2) $\triangle AEF : \triangle ABC$の面積比を求めよ。 (3) $\triangle BCE : \triangle DCF$の面積比を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BC上に点Dがあり、$BD:DC = 5:3$である。また、辺CEの中点をFとする。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) $AE:EB$を求めよ。

(2) $\triangle AEF : \triangle ABC$の面積比を求めよ。

(3) $\triangle BCE : \triangle DCF$の面積比を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $AE:EB$について

メネラウスの定理を用いる。

$\triangle BCE$と直線ADについて、

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CA}{AE} \cdot \frac{EF}{FB} = 1$

$F$は$CE$の中点なので、$EF:FC=1:1$である。また、$BD:DC = 5:3$である。

よって、

$\frac{5}{3} \cdot \frac{CA}{AE} \cdot \frac{1}{1} = 1$

$\frac{CA}{AE} = \frac{3}{5}$

$\frac{AE}{CA} = \frac{5}{3}$

$CA = CE + EA$なので、$EA = \frac{5}{3} CE + \frac{5}{3} EA$

$EA = \frac{5}{3} EC - \frac{5}{3} EA$

$EA = \frac{5}{3} (EC - EA)$

$EA = \frac{5}{3} EC - \frac{5}{3} EA$

$\frac{8}{3} EA = \frac{5}{3} EC$

$AE:EC = 5:8$

同様に、

$\triangle ABE$と直線CDについて、

$\frac{BC}{CD} \cdot \frac{DF}{FA} \cdot \frac{AE}{EB} = 1$

$\frac{AE}{EB} = x$とする。

$BD:DC = 5:3$なので、$BC:CD = 8:3$である。

$\triangle AFC$において、中線なので、$AF:FD=2:1$である。

$\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot x = 1$

$x = \frac{3}{4}$

したがって、$AE:EB = 3:4$

(2) $\triangle AEF : \triangle ABC$について

$\triangle AEF = \frac{1}{2} AE \cdot AF \cdot \sin A$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A$

$\frac{\triangle AEF}{\triangle ABC} = \frac{AE}{AB} \cdot \frac{AF}{AC}$

$\frac{AE}{AB} = \frac{3}{7}$

$\frac{AF}{AC} = \frac{1}{2}$

$\frac{\triangle AEF}{\triangle ABC} = \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{14}$

したがって、$\triangle AEF : \triangle ABC = 3:14$

(3) $\triangle BCE : \triangle DCF$について

$\frac{\triangle BCE}{\triangle DCF} = \frac{BC \cdot CE}{DC \cdot CF}$

$\frac{BC}{DC} = \frac{8}{3}$

$\frac{CE}{CF} = \frac{2}{1}$

$\frac{\triangle BCE}{\triangle DCF} = \frac{8}{3} \cdot \frac{2}{1} = \frac{16}{3}$

したがって、$\triangle BCE : \triangle DCF = 16:3$

3. 最終的な答え

(1) $AE:EB = 3:4$

(2) $\triangle AEF : \triangle ABC = 3:14$

(3) $\triangle BCE : \triangle DCF = 16:3$