三角形ABCにおいて、BD:DC = 5:3, FはCEの中点である。 (1) AE:EBを求める。 (2) △AEF:△ABCの面積比を求める。 (3) △BCE:△DCFの面積比を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、BD:DC = 5:3, FはCEの中点である。

(1) AE:EBを求める。

(2) △AEF:△ABCの面積比を求める。

(3) △BCE:△DCFの面積比を求める。

2. 解き方の手順

(1) AE:EBを求める。

メネラウスの定理を△BCDと直線AEに関して適用する。

$$\frac{BA}{AE} \cdot \frac{EF}{FC} \cdot \frac{CD}{DB} = 1$$

$\frac{BA}{AE} \cdot 1 \cdot \frac{3}{5} = 1$

$\frac{BA}{AE} = \frac{5}{3}$

$\frac{AE + EB}{AE} = \frac{5}{3}$

$1 + \frac{EB}{AE} = \frac{5}{3}$

$\frac{EB}{AE} = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$

$AE:EB = 3:2$

(2) △AEF:△ABCの面積比を求める。

$\frac{AE}{AB} = \frac{3}{5}$, $\frac{CF}{CE} = \frac{1}{2}$, $\frac{CD}{BC} = \frac{3}{8}$

△ACE = $\frac{AE}{AB}$ △ABC = $\frac{3}{5}$△ABC

△AEF = $\frac{CF}{CE}$ △ACE = $\frac{1}{2}$△ACE = $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5}$ △ABC = $\frac{3}{10}$△ABC

△AEF : △ABC = 3:10

(3) △BCE:△DCFの面積比を求める。

△BCE = $\frac{BE}{BA}$ △ABC = $\frac{2}{5}$△ABC

△DCF = $\frac{CD}{CB}$ △CEF = $\frac{CD}{CB} \cdot \frac{1}{2}$ △BCE = $\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} \frac{2}{5}$ △ABC = $\frac{3}{40}$△ABC

△BCE : △DCF = $\frac{2}{5}$ : $\frac{3}{40}$ = $\frac{16}{40}$ : $\frac{3}{40}$ = 16:3

3. 最終的な答え

(1) AE:EB = 3:2

(2) △AEF : △ABC = 3:10

(3) △BCE : △DCF = 16:3