与えられた複素数の式を計算します。式は、$\frac{1-i^5}{1+i^5} + \frac{1-i^3}{1+i^3}$ です。ここで、$i$ は虚数単位です。

1. 問題の内容

与えられた複素数の式を計算します。式は、$\frac{1-i^5}{1+i^5} + \frac{1-i^3}{1+i^3}$ です。ここで、$i$ は虚数単位です。

2. 解き方の手順

まず、$i^5$ と $i^3$ を簡単にします。

$i^2 = -1$ なので、

$i^3 = i^2 \cdot i = -i$

$i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$

$i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i$

次に、これらの値を与えられた式に代入します。

$\frac{1-i^5}{1+i^5} + \frac{1-i^3}{1+i^3} = \frac{1-i}{1+i} + \frac{1-(-i)}{1+(-i)} = \frac{1-i}{1+i} + \frac{1+i}{1-i}$

次に、各項を実数化します。$\frac{1-i}{1+i}$ に $\frac{1-i}{1-i}$ を掛け、$\frac{1+i}{1-i}$ に $\frac{1+i}{1+i}$ を掛けます。

$\frac{1-i}{1+i} \cdot \frac{1-i}{1-i} = \frac{(1-i)^2}{1^2 - i^2} = \frac{1 - 2i + i^2}{1 - (-1)} = \frac{1 - 2i - 1}{2} = \frac{-2i}{2} = -i$

$\frac{1+i}{1-i} \cdot \frac{1+i}{1+i} = \frac{(1+i)^2}{1^2 - i^2} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 - (-1)} = \frac{1 + 2i - 1}{2} = \frac{2i}{2} = i$

したがって、

$\frac{1-i}{1+i} + \frac{1+i}{1-i} = -i + i = 0$

3. 最終的な答え

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