2次方程式 $x^2 - 2(a+1)x - 2a + 6 = 0$ が虚数解を持つように、実数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2(a+1)x - 2a + 6 = 0$ が虚数解を持つように、実数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式が虚数解を持つ条件は、判別式 $D$ が負であることです。

判別式 $D$ を計算します。

$D = b^2 - 4ac$

ここで、$a=1$, $b=-2(a+1)$, $c=-2a+6$ です。

したがって、

$D = (-2(a+1))^2 - 4(1)(-2a+6)$

$= 4(a^2 + 2a + 1) - 4(-2a+6)$

$= 4a^2 + 8a + 4 + 8a - 24$

$= 4a^2 + 16a - 20$

虚数解を持つためには、$D<0$ である必要があります。

$4a^2 + 16a - 20 < 0$

$a^2 + 4a - 5 < 0$

$(a+5)(a-1) < 0$

この不等式を解くと、 $-5 < a < 1$ となります。

3. 最終的な答え

$-5 < a < 1$